理科数学 海淀区2016年高三期末试卷
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.已知圆, 直线,若被圆所截得的弦的长度之比为,则的值为(   )

A

B1

C

D

正确答案

C

解析

被圆c截得的弦长为。所以被圆c截得的弦长为4.即为直径,恒过点(0,-1)且过圆心(2,0)所以k=.选C。

考查方向

本题主要考查了直线与圆的位置关系问题,属于中档题,是高考的热点,解决此类题的关键会用直线与圆的位置关系计算弦长。

易错点

本题易在计算弦长时发生错误,导致题目错误。

知识点

直线与圆相交的性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.已知正方体,记过点与三条直线所成角都相等的直线条数为, 过点与三个平面所成角都相等的直线的条数为,则下面结论正确的是(   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由图可知过点A三条直线所成角都相等的直线条数为4条,过点与三个平面所成角都相等的直线的条数4.选D。

考查方向

本题主要考查了立体几何中异面直线所成角及直线和平面所成角,属于中档题,是高考的热点,解决此类题的关键:找出三条直线所成角都相等的直线条数。点与三个平面所成角都相等的直线的条数。

易错点

1、本题易在找点与三个平面所成角都相等的直线的条数发生错误,易丢解。

知识点

线面角和二面角的求法
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.已知,则的值为(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

,又,所以b=1

考查方向

本题主要考查了复数的乘法运算、复数的相等,属于简单题,是高考的热点,解决此类题的关键:是会进行复数的乘法运算。

解题思路


易错点

本题易在复数相等时错误,等式左右两边都写成a+bi形式,导致题目出现错误

知识点

复数代数形式的混合运算
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2. 抛物线的准线与轴的交点的坐标为(      )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

抛物线的准线方程为x=-1,与轴的交点的坐标为

考查方向

本题主要考查了抛物线的几何性质,属于简单题,是高考的热点,解决此类题的关键是记住抛物线的准线方程。

易错点

本题易在记忆抛物线的准线方程出错。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.如图,正方形中,的中点,若,则的值为(   )


A

B

C

D

正确答案

D

解析

,所以,选D。

考查方向

本题主要考察了平面向量的基本定理,属于中档题,是高考的热点,解决此类题的关键是会利用平面向量的基本定理,用两个不共线的向量表示平面内任一向量。

易错点

本题易在向量的表示过程中出现错误。

知识点

平面向量的基本定理及其意义向量在几何中的应用
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.某程序框图如图所示,执行该程序,若输入的值为1,则输出的值为(   )


A

B

C

D

正确答案

C

解析

按照程序框图进行运算,当i=1时,a=1;当i=2时,a=3;当i=3时,a=3;当i=4时.i>3输出a=3

考查方向

本题主要考查了程序框图,属于中档题,是高考的热点,解决此类题的关键读懂程序框图,并按步骤写出其过程。

易错点

本题易在写过程时发生错误。

知识点

程序框图
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.已知数列,其中, 则满足的不同数列一共有(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

可知,中,可能为0,0,1,1,1或-1,1,1,1,1两类情况,第一类有种方法,第二类有5种方法,共十五种,选A。

考查方向

本题主要考察了排列组合的知识,属于中档题,是高考的热点,解决此类题的关键:找到的可能值。

易错点

本题易在的值时丢掉分类,导致题目发生错误。

知识点

组合及组合数公式
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.若满足 则的最大值为(   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

线性目标函数可以分成两类,由图可知,其最大值为2,选D。

考查方向

本题主要考察了线性规划,属于中档题,是高考的热点,解决此类题的关键:正确的画出可行域,并理解目标函数的意义。

易错点

1、本题易在画可行域时发生错误

2、本题不容易理解的意思,导致题目无法进行。

知识点

其它不等式的解法
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

10. 在的展开式中,常数项为____.(用数字作答)

正确答案

15

解析

,令6-3r=0,即r=2.常数项为=15。

考查方向

本题主要考察了二项式定理中的指定项的问题,属于中档题,是高考的热点,解决此类题的关键:用二项式定理中的通项,让x的次数为0。

易错点

本题易在用二项式定理中的通项时发生错误,导致题目无法进行。

知识点

求二项展开式的指定项或指定项的系数
1
题型:填空题
|
分值: 5分

9.已知双曲线的一条渐近线过点,则其离心率为

正确答案

2;

解析

双曲线的渐近线方程为。带入(1,2)可得b=2

易错点

本题易在记忆双曲线的渐近线方程时发生错误从而导致b值的错误。

知识点

双曲线的几何性质
1
题型:填空题
|
分值: 5分

11.已知等比数列的公比为,若,则

正确答案

6

解析

由题意可得,

易错点

本题易在计算首项时发生错误,从而导致题目结果出现错误。

知识点

等比数列的性质及应用
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.已知函数  若的最小值是,则

正确答案

-4

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

易错点

本题易在理解分段函数性质时发生错误,导致题目无法进行。

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的最值及其几何意义
1
题型:填空题
|
分值: 5分

12. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥中最长棱的棱长为

正确答案

解析

由三视图可知是如图正方体的一部分,所以可知其最长棱为,长度为

易错点

本题易在由三视图画原图时发生错误,导致题目无法进行。

知识点

简单空间图形的三视图
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.已知,若存在,满足,则称的 一个“友好”三角形

(i) 在满足下述条件的三角形中,存在“友好”三角形的是____:(请写出符合要求的条件的序号)

 ;

(ii) 若等腰存在“友好”三角形,且其顶角的度数为___.

正确答案

②;

解析

为三角形中的角不存在,所以①不存在友好三角形;

,不满足三角形的内角和为。所以③不存在友好三角形;故选②

,即有四类可能。分别为三个“-”;两个“-”一个“+”;一个“-”两个“+”;或三个“+”。第一、三、四类都不成立。第二类中若

,即

考查方向

本题主要考察了解三角形问题,属于难题,是高考的热点,解决此类题的关键:一是会化简,熟悉三角恒等变形公式;二是会用性质,熟悉单解三角形的问题。

易错点

本题易在公式变形时发生错误,导致题目出错。

知识点

解三角形的实际应用
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 13分

16.已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为。为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况,做药物试验.试验设计为每天用药一次,连续用药四天为一个用药周期。假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关.

(Ⅰ)如果出现A症状即停止试验”,求试验至多持续一个用药周期的概率;

(Ⅱ)如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状,则这个用药周期结束后终止试验,试验至多持续两个周期. 设药物试验持续的用药周期数为,求的期望。

正确答案

(Ⅰ)

(Ⅱ)

解析

(Ⅰ)设持续天为事件,用药持续最多一个周期为事件

所以

法二:设用药持续最多一个周期为事件,则为用药超过一个周期,

所以,

所以

(Ⅱ)随机变量可以取

所以, ,

所以

考查方向

本题主要考察了概率统计,期望的问题,属于中档题,是高考的热点,解决此类题的关键:会用公式算概率和期望。

易错点

1、本题易在读题时因读不懂题意,导致概率无法计算。

2、因期望中随机变量对应的概率算错而导致出错。

知识点

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1
题型:简答题
|
分值: 13分

17.如图,在四棱锥中,底面,底面为梯形,,且

(Ⅰ)若点上一点且

证明:平面

(Ⅱ)求二面角的大小;

(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使得?

若存在,求出的长;若不存在,说明理由

正确答案

见解析

解析

(Ⅰ)过点,交,连接,

因为,所以

,所以

所以为平行四边形, 所以

平面平面,

所以平面

(Ⅱ)因为梯形中,,所以

因为平面,所以,

如图,以为原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系,

所以

设平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,

因为

所以,即

得到,

同理可得,

所以,

因为二面角为锐角,

所以二面角

(Ⅲ)假设存在点,设

所以,

所以,解得,

所以存在点,且

考查方向

本题主要考察了立体几何中的线面平行,二面角和存在性问题,属于中档题,是高考的热点,解决此类题的关键:一是熟悉定理进行证明线面平行;二是向量法解决二面角的问题。

易错点

1、本题易在证明线面平行时,条件不全面。

2、本题可能在算法向量时易错,导致题目结果出错。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
1
题型:简答题
|
分值: 13分

18.已知函数. 

(Ⅰ)当时,求函数的单调区间和极值;

(Ⅱ)求证:当时,关于的不等式在区间上无解.

(其中

正确答案

(Ⅰ)函数的单调递增区间为, 的单调递减区间为

(Ⅱ)见解析

解析

(Ⅰ)因为,

所以

时,

所以的变化情况如下表:

所以处取得极大值,在处取得极小值

函数的单调递增区间为, 的单调递减区间为

(Ⅱ)证明:不等式在区间上无解,

等价于在区间上恒成立,

即函数在区间上的最大值小于等于1.

因为

,得

因为时,所以

时,成立,

函数在区间上单调递减,

所以函数在区间上的最大值为,

所以不等式在区间上无解;

时,的变化情况如下表:

所以函数在区间上的最大值为

此时,

所以

 .

综上,当时,关于的不等式在区间上无解。

考查方向

本题主要考察了用导数解决函数的单点区间和极值的问题,属于中档题,是高考的热点,解决此类题的关键:

1、(1)确定函数y=f(x)的定义域;

(2)求导数y′=f′(x);

(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;

(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

2、当函数f(x)在点x0处连续时,①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值。

易错点

1、导数为零的点不一定是极值点 。

2、本题对k的分类讨论不全面导致错误。

知识点

函数的单调性及单调区间导数的运算不等式的证明
1
题型:简答题
|
分值: 13分

15.已知函数

(Ⅰ)求函数的最小正周期;

(Ⅱ)求函数在区间上的最大值与最小值的和

正确答案

(Ⅰ)

(Ⅱ)0

解析

(Ⅰ)因为

所以函数的最小正周期

(Ⅱ)因为,所以,所以

时,函数取得最小值;

时,函数取得最大值,

因为,

所以函数在区间上的最大值与最小值的和为

考查方向

本题主要考察了三角函数的图象与性质,属于中档题,是高考的热点,解决此类题的关键:一是会化简,熟悉三角恒等变形公式;二是会用性质,熟悉单调性、周期性、对称性、和最值问题。

易错点

1、本题易在化简的过程汇总发生错误,导致最小正周期算错 。

 2、单调性分析不全面,导致题目无法进行。

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值
1
题型:简答题
|
分值: 14分

19.已知椭圆的离心率为,其左顶点在圆上.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)若点为椭圆上不同于点的点,直线与圆

的另一个交点为. 是否存在点,使得?

若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.

正确答案

(Ⅰ)

(Ⅱ)不存在

解析

(Ⅰ)因为椭圆的左顶点在圆上,

,得,所以

又离心率为,所以,所以,

所以,

所以的方程为

(Ⅱ)法一:设点,设直线的方程为

与椭圆方程联立得,

化简得到,

因为为上面方程的一个根,

所以

所以

所以

因为圆心到直线的距离为

所以,

因为

代入得到

显然,所以不存在直线,使得

法二:设点,设直线的方程为

与椭圆方程联立得

化简得到,由. [来源:学&科&网Z&X&X&K]

显然是上面方程的一个根,

所以另一个根,

因为圆心到直线的距离为

所以

因为

代入得到,

,则,与矛盾,矛盾,

所以不存在直线,使得

法三:假设存在点,使得,则,得

显然直线的斜率不为零,设直线的方程为

,得,

所以

同理可得

所以由

,与矛盾,

所以不存在直线,使得

考查方向

本题主要考察了椭圆的方程与直线与椭圆的位置关系问题:

一是会用待定系数法求椭圆的方程;

二是会用熟悉用根与系数的关系解决直线和圆锥曲线的位置关系问题。

易错点

1、本题易在用待定系数法用错导致圆锥曲线方程算错。

2、本题用根与系数的关系时运算出错导致后面全部错误。

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题
1
题型:简答题
|
分值: 14分

20.若实数数列满足,则称数列为“数列”.

(1)若数列数列,且,求的值;

(2) 求证:若数列数列,则的项不可能全是正数,也不可能全是负数;

(3) 若数列数列,且中不含值为零的项,记项中值为负数的项的个数为,求所有可能取值.

正确答案

(1)

(2)见解析 

(3) 

解析

(1)因为数列,且

所以

所以,

所以,解得,

所以.         

(2) 假设数列的项都是正数,即

所以,与假设矛盾.

数列的项不可能全是正数,

假设数列的项都是负数,

,与假设矛盾,

数列的项不可能全是负数

(3)由(Ⅱ)可知数列中项既有负数也有正数,

且最多连续两项都是负数,最多连续三项都是正数.

因此存在最小的正整数满足).

,则

,

故有, 即数列是周期为9的数列

由上可知这9项中为负数,这两项中一个为正数,另一个为负数,其余项都是正数.

因为,

所以当时,;

时,项中至多有一项为负数,而且负数项只能是,

项中负数项的个数为

时,若,故为负数,

此时

,故为负数.

此时

时,必须为负数,,

综上可知的取值集合为

考查方向

本题主要考察了数列中项的问题,属于难题,是高考的热点,解决此类题的关键:是会对数列中的项进行分析。

易错点

1、本题易在对数列中的项分析不全面出现错误 。

2、对数列中项的性质研究不全面出现错误。

知识点

数列与函数的综合数列与不等式的综合

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