2016年高考真题理科数学 (上海卷)

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试卷目录

1、填空题

2、单选题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 4分

8．在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于__________．

正确答案

解析

，．

通项．

取，

常数项为．

考查方向

二项式定理．

解题思路

利用二项式系数和先求得项数，然后写出通项公式，最后确定常数项并化简．

易错点

二项式展开的通项公式以及常数项的确定．

知识点

二项式系数的和或各项系数的和问题

题型：填空题

分值: 4分

9．已知的三边长为，则该三角形的外接圆半径等于__________．

正确答案

解析

不妨设三边分别为，

由余弦定理可得，

∴，

∴由正弦定理可得．

考查方向

解三角形中的正弦定理和余弦定理．

解题思路

已知三边长，先由三角形的余弦定理求得其中一角的余弦值，再根据同角三角比的平方关系求得这个角的正弦值，最后利用三角形的正弦定理，求得该三角形外接圆的半径．

易错点

恰当合理运用正弦定理和余弦定理．

知识点

三角函数中的恒等变换应用

题型：填空题

分值: 4分

2．设，其中为虚数单位，则__________．

正确答案

解析

，故

考查方向

复数运算及复数的相关概念．

解题思路

先通过复数运算化简得到，然后求得的虚部．

易错点

复数的虚部的概念．

知识点

复数代数形式的乘除运算

题型：填空题

分值: 4分

3．:，:，则的距离为__________．

正确答案

解析

的距离为．

考查方向

两平行直线的距离．

解题思路

将相关数值直接代入两平行直线距离公式即可．

易错点

计算错误．

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：填空题

分值: 4分

4．某次体检，位同学的身高（单位：米）分别为，则这组数据的中位数是__________（米）．

正确答案

解析

将数据按从小到大排列：，取最中间的两个数，则中位数为．

考查方向

数据统计中的中位数的概念．

解题思路

首先将数据按从小到大排列，然后找到最中间的两个数（因为原始数据有偶数个），求得它们的平均数即可．

易错点

对偶数个数据时中位数的计算．

知识点

收集数据的方法

题型：填空题

分值: 4分

5．已知点在函数的图像上，则的反函数__________．

正确答案

解析

将点的坐标代入函数的解析式，得，

故，

∴

考查方向

函数的相关概念及反函数的求解．

解题思路

先将点的坐标代入函数的解析式，求得的值，然后再求的反函数．

易错点

对数函数的正确表达形式．

知识点

反函数

题型：填空题

分值: 4分

6．如图，在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于__________．

正确答案

解析

∵平面，

∴与底面所成的角为，

在中，

，，，

∴，即正四棱柱的高为．

考查方向

直线与平面所成的角的概念及立体几何中的相关计算．

解题思路

先确定与底面所成的角为，然后在中求得的大小，从而求得正四棱柱的高．

易错点

正确寻找直线与平面所成的角．

知识点

直线与平面平行的判定与性质

题型：填空题

分值: 4分

10．设，若关于的方程组无解，则的取值范围是__________．

正确答案

解析

由已知，有

又，∴，且，∴

考查方向

利用行列式确定线性方程组无解的充要条件，基本不等式．

解题思路

先利用行列式确定方程组无解的充要条件，然后利用基本不等式求得的取值范围．

易错点

的判断以及在基本不等式中的应用（等号成立的条件不具备）．

知识点

函数单调性的性质

题型：填空题

分值: 4分

7．方程在区间上的解为__________．

正确答案

或

解析

，即．

∴

∴又∵

∴或

考查方向

三角方程的求解．

解题思路

利用三角公式先将三角方程化为最简形式，然后求最简单的三角方程．

易错点

合理恰当的选择三角公式化简三角方程．

知识点

三角函数中的恒等变换应用

题型：填空题

分值: 4分

1．设，则不等式的解集为__________．

正确答案

解析

，即，故解集为．

考查方向

绝对值不等式的求解．

解题思路

先去绝对值，然后利用不等式性质移项即可．

易错点

绝对值不等式的等价形式．

知识点

一元二次不等式的解法

题型：填空题

分值: 4分

14．如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，，任取不同的两点，点满足，则点落在第一象限的概率是__________．

正确答案

解析

任取不同的两个点的所有可能为；

符合要求的有序点对的组合有5种：

．

∴符合要求的点落在第一象限的概率是．

考查方向

向量运算，概率．

解题思路

先确定分母，八个点任取不同的两个点的种数为；再确定分子，符合要求的有序点对的组合有5种：．

易错点

枚举法寻找符合要求的有序点对的组合．

知识点

与面积、体积有关的几何概型

题型：填空题

分值: 4分

12．在平面直角坐标系中，已知，，是曲线上一个动点，则的取值范围是__________．

正确答案

解析

设，，则，，

∴．

考查方向

曲线方程；向量的数量积；三角函数的性质．

解题思路

先设半圆曲线上动点的坐标，注意的取值范围；然后利用向量数量积的坐标公式求得是关于的三角函数，最后利用三角函数的性质，根据的取值范围求得的取值范围．

易错点

正确设动点的坐标；利用三角函数性质求取值范围时对参数的取值范围的关注．

知识点

平面向量的综合题圆的标准方程

题型：填空题

分值: 4分

11．无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大值为__________．

正确答案

解析

根据题意，或；

∵

∴从第二项开始，所有可能的取值为

由题意无穷数列由个不同的数组成，

那么在同一个数列中，它们只可能是或

∴的最大值为4．

考查方向

推理能力以及数列通项与前项和之间的关系．

易错点

没有厘清关系，无从着手．

知识点

等差数列的前n项和及其最值

题型：填空题

分值: 4分

13．设，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为__________．

正确答案

解析

①当时，

若，则；若，则；

②当时，

若，则；若，则．

共组．

考查方向

三角函数性质，枚举法．

解题思路

根据三角函数的性质，枚举有序实数组的所有可能．

易错点

在枚举过程中漏考虑若干情形．

知识点

复合函数的单调性

单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

17．已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得恒成立的是（）

A，

B，

C，

D，

正确答案

解析

，，

，即

若，则，不可能成立

若，则，B成立

考查方向

无穷等比数列前项和公式以及各项和公式．

解题思路

先将无穷等比数列前项和公式以及各项和公式代入，然后化简得到，对之讨论即可．

易错点

对化简之后的讨论．

知识点

等比数列的判断与证明

题型：单选题

分值: 5分

16．下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）

正确答案

解析

本题可以采用排除法，当时，值最小．

显然符合要求的选项为D．

考查方向

极坐标方程．

解题思路

利用的几何意义可知，寻找符合条件的曲线及对应的图形．

易错点

的几何意义．

题型：单选题

分值: 5分

15．设，则“”是“”的（）

A充分非必要条件

B必要非充分条件

C充要条件

D既非充分也非必要条件

正确答案

解析

设，，则．

由子集与推出关系可知“”是“”的充分非必要条件．

考查方向

子集与推出关系，充分必要条件．

解题思路

利用子集与推出关系求解．

易错点

子集与推出关系．

知识点

充要条件的应用

题型：单选题

分值: 5分

18．设是定义域为的三个函数，对于命题：

①若，，均为增函数，则中至少有一个为增函数；

②若，，均是以为周期的函数，则均是以为周期的函数．

下列判断正确的是（）

A①和②均为真命题

B①和②均为假命题

C①为真命题，②为假命题

D①为假命题，②为真命题

正确答案

解析

①不成立，可举反例

，，

②

前两式作差，可得

结合第三式，可得，

也有 ∴②正确．

故选D．

考查方向

函数的性质（单调性、周期性）．

解题思路

不成立的举反例，成立的要证明．

易错点

反例找不到．

知识点

四种命题及真假判断

简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 14分

有一块正方形菜地，所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图．

21.求菜地内的分界线的方程；

22.菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为．设是上纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

设分界线上任一点为，依题意，有

可得

考查方向

应用题．

解题思路

根据抛物线定义或者直接列式得到曲线方程；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

矩形面积；五边形面积；五边形的面积更接近的面积．

解析

设，则

∴

∴设所表述的矩形面积为，则

过作，交于，交于，

设五边形面积为，则

∵，

∴五边形的面积更接近的面积．

考查方向

应用题．

解题思路

分别求得矩形和五边形的面积，然后求得其与的差的绝对值，再进行大小比较．

易错点

对“更接近的面积”概念的理解．

题型：简答题

分值: 12分

将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧．

19.求三棱锥的体积；

20.求异面直线与所成角的大小．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

连，则

∴为正三角形

∴

又三棱锥的高为

∴

考查方向

多面体的体积

解题思路

确定三棱锥的高为，求得底面的面积，利用棱锥体积公式求得三棱锥的体积；

易错点

三棱锥的高找错了

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设点在下底面圆周的射影为，连，则

∴为直线与所成角（或补角）

连

，

∴

∴为正三角形

∴

∴直线与所成角大小为．

考查方向

异面直线所成的角．

解题思路

利用平行，找到直线与所成的角为（或其补角）

易错点

在圆柱体内找直线与所成角

题型：简答题

分值: 14分

双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于两点．

23.若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

24.设，若的斜率存在，且，求的斜率．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由已知，

取，得

∵，

∴

即

∴

∴渐近线方程为

考查方向

双曲线的方程及其性质

解题思路

利用等边三角形及双曲线相关知识求双曲线方程；

易错点

计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

若，则双曲线为

∴，

设，，则

，，

∴

(*)

∵

∴

∴代入(*)式，可得

直线的斜率存在，故

∴

设直线为，代入

得

∴，且

∴

∴直线的斜率为

考查方向

直线与圆锥曲线位置关系，向量运算．

解题思路

利用向量运算、直线与圆锥曲线位置关系、二次方程根与系数关系计算求解．

易错点

向量关系进行转化

题型：简答题

分值: 16分

已知，函数．

25.当时，解不等式；

26.若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；

27.设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过，求的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

或

解析

∴不等式的解集为或

考查方向

对数不等式

解题思路

利用对数函数性质、不等式性质求解对数不等式

易错点

函数性质的综合运用．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

或或

解析

依题意，

∴ ①

可得

即 ②

当时，方程②的解为，代入①式，成立

当且时，方程②的解为或

若为方程①的解，则，即

要使得方程①有且仅有一个解，则

综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则的取值范围为或或

考查方向

函数与方程的关系

解题思路

先去对数符号，将对数方程等价转化为关于的方程，然后分类讨论；

易错点

函数性质的综合运用．

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

．

解析

在上单调递减

依题意，

即

∴，即

设，则

当时，

∵函数在递减

∴

∴的取值范围为

考查方向

函数的性质的综合运用．

解题思路

利用函数单调性将问题转化为我们熟悉的不等式的在给定范围的恒成立，然后分离参数转化为，将恒成立问题转化为求最值问题．

易错点

函数性质的综合运用．

题型：简答题

分值: 18分

若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质．

28.若具有性质．且，，，，，求；

29.若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由；

30.设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题意知

∴

考查方向

主要考察学生对新定义的概念或性质的学习能力，考察学生的证明能力．

解题思路

反复利用性质求解

易错点

对新定义的性质的不理解；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

不具有性质

解析

设的公差为，的公差为，则

∴

∵，

而，

但，

故不具有性质．

考查方向

主要考察学生对新定义的概念或性质的学习能力，考察学生的证明能力．

解题思路

通过计算，寻找不符合性质的情形“但”，从而判断不具有性质

易错点

寻找不到反例

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

，是常数列．

解析

充分性：若为常数列，设

则

若存在使得，

则，

故具有性质．

必要性：若对任意，具有性质

则

设函数，

由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点

∴一定能找到一个，使得

∴

故

∴是常数列．

考查方向

主要考察学生对新定义的概念或性质的学习能力，考察学生的证明能力．

解题思路

从充分性和必要性两方面入手证明．

易错点

充要条件的证明．

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

易错点

知识点

正确答案

解析

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