理科数学黄浦区2010年高三试卷

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填空题本大题共12小题，每小题5分，共60分。把答案填写在题中横线上。

1．若集合的子集只有两个，则实数_________

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4．设集合非空，，若，则实数的取值范围是_________

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5．整数使关于的不等式组解集中的整数只有，则由的值组成的集合为_________

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8．将3名同学安排到、两个工厂去实习，则到A工厂的实习人数的数学期望的值为_________

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9．数列中，，当时，是积的个位数，则_________

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11．定义为向量到向量的一个矩阵变换，其中是坐标原点。已知，则的坐标为_________

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2．若复数满足：，，则_________

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3．方程的解为_________

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6．函数的图像关于点成中心对称，则的最小正值为_________

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7．对于椭圆，定义为椭圆的离心率，椭圆离心率的取值范围是，离心率越大椭圆越“扁”，离心率越小则椭圆越“圆”。若两椭圆的离心率相等，我们称两椭圆相似。已知椭圆与椭圆相似，则的值为_________

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12．设是定义在上的奇函数，且对于任意的，恒成立，当时，。若方程恰好有5个不同的解，则实数的取值范围是_________。

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10．已知是坐标原点，是平面上的两点，且，。若△是直角三角形，则_________

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单选题本大题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

15．已知函数的大致图像如图，则函数的奇偶性是（　　）

A一定是奇函数

B一定是偶函数

C既是奇函数也是偶函数

D既不是奇函数也不是偶函数

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13．直线的倾斜角是（　　）

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14．已知数列的前项和，则“”是“数列为等比数列”的（　　）

A必要不充分条件

B充分不必要条件

C充分必要条件

D既不充分又不必要条件

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16．已知二面角为，动点P、Q分别在面内，点P到的距离为，点Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（　　）

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简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．高三某班有甲、乙两个学习小组，每组都有10名同学，其中甲组有4名女同学；乙组有6名女同学。现采用分层抽样从甲、乙两组中共抽取4名同学进行学习情况调查。

（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（2）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；

（3）求抽取的4名同学中恰有2名男同学的概率。

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19．如图，圆与轴的正半轴交于点B，P是圆上的动点，P点在轴上的投影是D，点M满足。

（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形。

（2）过点B的直线与M点的轨迹C交于不同的两点E、F，若，求直线的方程。

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21．已知函数。

（1）若函数是上的增函数，求实数的取值范围；

（2）当时，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；

（3）对于函数若存在区间，使时，函数的值域也是，则称是上的闭函数。若函数是某区间上的闭函数，试探求应满足的条件。

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18．如图：圆锥的顶点是S，底面中心为O。OC是与底面直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点。

（1）求证：BC与SA不可能垂直；

（2）设圆锥的高为4，异面直线AD与BC所成角为，求圆锥的体积。

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20．已知数列中，，且。

（1）记，求证：数列是等比数列，并求的通项公式；

（2）求的通项公式；

（3）当时，记，求的值。

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