理科数学 热门试卷

解: （Ⅰ）f（x）= x2- lnx+x  （）

f’（x）=x - + 1==0

∴x1=，x2=

∵（0，单调减   ，+∞）单调增

∴f（x）在x= 时取极小值

（Ⅱ）法一：f’（x）=

令g（x）=x2-2ax+ a2+ a， △=4a2-3a2-2a=a2-2a，设g （x）=0的两根

①  当△≤0时  即0≤a≤2，f’（x）≥0

∴f（x）单调递增，满足题意

②当△>0时  即a<0或a>2时

（1）若，则 a2 + a<0  即- <a<0时,

在上减，上增

f’（x）=x+ -2a   ,f’’（x）=1- ≥0

∴f’（x） 在（0，+∞）单调增，不合题意

（2）若 则,即a≤- 时f（x）在（0，+∞）上单调增，满足题意。

（3） 若则  即a>2时

∴f（x）在（0，x1）单调增，（x1，x2）单调减，（x2，+∞）单调增，不合题意

综上得a≤- 或0≤a≤2.

法二：f’（x）=

令g（x）=x2-2ax+ a2+ a， △=4a2-3a2-2a=a2-2a，设g（x）=0的两根

①当△≤0时  即0≤a≤2，f’（x）≥0

∴f（x）单调递增，满足题意

（Ⅲ） g（x）＝－lnx－ax2＋x，g（x）＝－－2ax＋1＝－．

令g（（x）=0，即2ax2－x＋1＝0，当0＜a＜时，Δ＝1－8a＞0，所以，方程2ax2－x＋1＝0的两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）∪（x2，＋∞）时，g（x）＜0，当x∈（x1，x2）时，g（x）＞0，

所以，g（x）有极小值点x1和极大值点x2，且x1＋x2＝，x1x2＝．

g（x1）＋g（x2）＝－lnx1－ax＋x1－lnx2－ax＋x2

＝－（lnx1＋lnx2）－（x1－1）－（x2－1）＋（x1＋x2）

＝－ln（x1x2）＋（x1＋x2）＋1＝ln（2a）＋＋1．

令h（a）＝ln（2a）＋＋1，a∈（0，]，

则当a∈（0，）时，h（a）＝－＝＜0，h（a）在（0，）单调递减，

所以h（a）＞h（）＝3－2ln2，即g（x1）＋g（x2）＞3－2ln2．