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2．复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
正确答案
解析
解：由z•i=3﹣i，得
∴复数z对应的点的坐标为（﹣1，﹣3），位于第三象限．
故选：C．
考查方向
解题思路
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
易错点
复数的运算要细心，注意i的平方等于-1，这样就不会出错.
5．（x﹣2y）6的展开式中，x4y2的系数为（ ）
正确答案
解析
解：（x﹣2y）6展开式的通项公式为
Tr+1=
令r=2，得T3=
所以x4y2的系数为60．
故选：C．
考查方向
解题思路
根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中x4y2，即可求出对应的系数．
易错点
二项式展开式的通项公式求特定项时，指数的运算容易出错.
6．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由俯视图可知三棱柱的底面积为
由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积
∴四棱锥的体积为
∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为
故选C．
考查方向
解题思路
剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积．
易错点
由三视图恢复成直观图时如果出错，就会出现计算错误.
7．经过原点并且与直线x+y﹣2=0相切于点（2，0）的圆的标准方程是（ ）
正确答案
解析
解：设圆心的坐标为（a，b），
则a2+b2=r2①，
（a﹣2）2+b2=r2②，
由①②③组成方程组，解得
a=1，b=﹣1，r2=2；
故所求圆的标准方程是
（x﹣1）2+（y+1）2=2．
故选：A．
考查方向
解题思路
设出圆心坐标与半径，根据题意列出方程组，解方程组求出圆心与半径即可．
易错点
解方程组的运算是易错点，要细心.
8．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（ ）
正确答案
解析
解：当m=209，n=121，m除以n的余数是88
此时m=121，n=88，m除以n的余数是33
此时m=88，n=33，m除以n的余数是22
此时m=33，n=22，m除以n的余数是11，
此时m=22，n=11，m除以n的余数是0，
此时m=11，n=0，
退出程序，输出结果为11，
故选：B．
考查方向
解题思路
先求出m除以n的余数，然后利用辗转相除法，将n的值赋给m，将余数赋给n，进行迭代，一直算到余数为零时m的值即可．
易错点
注意循环程序终止的条件.
9．下列4个命题中正确命题的个数是
（1）对于命题p：∃x0∈R，使得x02﹣1≤0，则￢p：∀x∈R都有x2﹣1＞0
（2）已知X～N（2，σ2），P（x＞2）=0.5
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为
（4）“x≥1”是“x+
正确答案
解析
解：（1）对于命题p：∃x0∈R，使得x02﹣1≤0，则￢p：∀x∈R都有x2﹣1＞0，正确；
（2）已知X～N（2，σ2），P（x＞2）=0.5，正确；
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为
（4）“x≥1”可得“x+
故选D．
考查方向
解题思路
对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
易错点
本题考查知识点较多，（2）（3）是易错点.
10．已知点A是双曲线
A
B
C1+
D1+
正确答案
解析
解：依题意及三角函数定义，点A（ccos
代入双曲线方程
可得 b2c2﹣3a2c2=4a2b2，又c2=a2+b2，得e2=4+2
故选：D．
考查方向
解题思路
利用已知条件求出A坐标，代入双曲线方程，可得a、b、c，关系，然后求解离心率即可．
易错点
双曲线的几何性质应用中，a,b,c的关系一定与椭圆区分清楚，否则会出错.
1．已知集合
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B={0，1，2}．
故选：B．
考查方向
解题思路
利用交集定义求解．
易错点
解题时仔细审题就不会出错.
3．已知
正确答案
解析
解：∵
∴a（1﹣a）﹣（﹣2）×1=0，
化简得a2﹣a﹣2=0，
解得a=2或a=﹣1；
∴a的值是2或﹣1．
故选：B．
考查方向
解题思路
根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值即可．
易错点
本题是基础题目，注意两个向量平行的充要条件，不要漏解.
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=（ ）
正确答案
解析
解：在等差数列{an}中，
由a2+a4+a9=24，得：3a1+12d=24，即a1+4d=a5=8．
∴S9=9a5=9×8=72．
故选：B．
考查方向
解题思路
把已知转化为含有首项和公差的等式，求出a5，然后直接由S9=9a5得答案．
易错点
等差数列性质“含有奇数项的等差数列的前n项和，等于项数乘以中间项”的应用时易出错.
12．如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“H函数”．给出下列函数：
①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=ex+1；④f（x）=
正确答案
解析
解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，
∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的不减函数（即无递减区间）．
①函数y=﹣x3+x+1，则y′=﹣2x2+1，在在[﹣
②y=3x﹣2（sinx﹣cosx），y′=3﹣2cosx+2sinx=3+2（sinx﹣cosx）=3﹣2
③y=ex+1是定义在R上的增函数，满足条件．
④f（x）=
故选：A
考查方向
解题思路
不等式x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0，即满足条件的函数为不减函数，判断函数的单调性即可得到结论．
易错点
本题难度较大，新定义中的条件翻译与理解是难点，也是易错点.
11．将函数
A
B
C
D
正确答案
解析
解：函数
再向上平移1个单位，得到g（x）=
若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，
则g（x1）=g（x2）=3，
则
即
由x1，x2∈[﹣2π，2π]，得：x1，x2∈{﹣
当x1=
故选：A
考查方向
解题思路
由已知可得g（x）=
易错点
在解三角方程g（x1）=g（x2）=3时，易出错.
15．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是C或D作品获得一等奖”；
乙说：“B作品获得一等奖”；
丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是C作品获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．
正确答案
B
解析
解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，
若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，
若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，
若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，
故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B
故答案为：B
考查方向
解题思路
根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．
易错点
注意推理的合理性，并且进行反推检验就不会出错.
16．设数列{an}满足a1=2，a2=6，且an+2﹣2an+1+an=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则
正确答案
2016
解析
解：∵构造bn=an+1﹣an，则b1=a2﹣a1=4，
由题意可得（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=bn+1﹣bn=2，
故数列{bn}是4为首项，2为公差的等差数列，
故bn=an+1﹣an=4+2（n﹣1）=2n+2，
故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，an﹣an﹣1=2n，
以上n﹣1个式子相加可得an﹣a1=4+6+…+2n=
∴
∴2017（
则
故答案为：2016．
考查方向
解题思路
构造bn=an+1﹣an，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=bn+1﹣bn=2，利用等差数列的通项公式可得：bn=an+1﹣an=2n+2，再利用“累加求和”方法可得an﹣a1=
易错点
构造数列与“累加求和”方法与取整数函数都综合到一个题目中，难度较大，易错点也较多.
13．若两平面互相平行，第三个平面与这两个平面分别相交于l1，l2，则这两条直线之间的位置关系是 （填写“平行、相交、异面”中的某一种或者某几种）
正确答案
平行
解析
解：根据平面与平面平行的性质定理，可得这两条直线之间的位置关系是平行．
故答案为：平行．
考查方向
解题思路
根据平面与平面平行的性质定理，可得这两条直线之间的位置关系．
易错点
本题只要正确理解平面与平面平行的性质定理就不会出错.
14．设实数x，y满足
正确答案
1
解析
解：不等式组对应的平面区域如图，设z=2x﹣y，当此直线经过图中B（0，﹣1）时，在y轴的截距最小，即z最小，所以z的最小值为1；
故答案为：1．
考查方向
解题思路
作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最小值
易错点
利用数形结合的数学思想解决问题时，注意目标函数的斜率.
根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：
19. 将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．
①求图4中a的值；
②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．
20. （2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
（1）①a=0.004．②该居民取的环境需要改进．（
解析
解：（1）①a=0.004．②2016年该居民区PM2.5的年平均浓度=12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米），∵42.5＞35，∴2016年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民取的环境需要改进．
正确答案
（2）X的分布列为：
E（X）=2.7．
解析
（2）由题意可得：PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=
P（X=3）=0.729．
X的分布列为：
E（X）=0×0.001+1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7，或E（X）=3×0.9=2.7．
考查方向
解题思路
（1）①a=0.004．②2016年该居民区PM2.5的年平均浓度=12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1，与35比较即可判断出结论．
（2）由题意可得：PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=
易错点
计算数学期望时易出错.
如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，O为AB中点，POC平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，PA=PB=BC=AB=2，AD=3
21. 求证：平面PAB⊥面ABCD
22. （2）求二面角O﹣PD﹣C的余弦值．
正确答案
（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，BC=AB=2，AD=3．
∴
∵OC2=OB2+BC2=5，
∴OC⊥CD，即CD⊥平面POC，
∴CD⊥PO．
∵PA=PB=AB，O为AB中点，
∴PO⊥AB，
∴PO⊥底面ABCD，
∵PO⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥面ABCD…（6分）
正确答案
（2）二面角O﹣PD﹣C的余弦值为
解析
（2）解：过点C作CM⊥OD于点M，过点M作MN⊥PD于点N，连接CN．
则由于PO⊥平面OCD，PO⊂平面POD，所以平面POD⊥平面OCD，
∵CM⊂平面OCD，平面POD∩平面OCD=OD，∴CM⊥平面POD，∴CM⊥PD，
∵MN⊥PD，MN∩CM=M，∴PD⊥平面MCN，∴PD⊥NC，
即∠MNC是二面角O﹣PD﹣C的平面角．
在Rt△OCD中，CM=
在Rt△PCD中，CN=
所以MN=
考查方向
解题思路
（1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用线面垂直的判定，可得PO⊥底面ABCD，即可证明结论；
（2）过点C作CM⊥OD于点M，过点M作MN⊥PD于点N，连接CN，证明∠MNC是二面角O﹣PD﹣C的平面角，从而可求二面角O﹣PD﹣C的余弦值．
易错点
寻找二面角的平面角是本题的难点，也可以利用空间直角坐标系中的法向量法来解决，不管哪种方法，都要注意计算的准确度.
如图，在△ABC中，M是边BC的中点，tan∠BAM=
17. （Ⅰ）求角B的大小；
18. （Ⅱ）若角∠BAC=
正确答案
B=
解析
解：（Ⅰ）由题意可知∠AMB+∠AMC=π，
又cos∠AMC=﹣
∴cos∠AMB=
∴tanB=﹣tan（∠BAM+∠BMA）=﹣
又B∈（0，π），
∴B=
正确答案
解析
解：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠B=
∴∠C=
∴AB=BC，
设BM=x，则AB=2x，
在△AMB中，由余弦定理得AM2=AB2+BM2﹣2AB•BM•cosB，即7=4x2+x2+2x2，
解得：x=1（负值舍去），
∴AB=BC=2，
则S△ABC=
考查方向
解题思路
（Ⅰ）由邻补角定义及诱导公式得到cos∠AMC=﹣cos∠AMB，求出cos∠AMB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出tan∠AMB的值，再利用诱导公式求出tanB的值，即可确定出B的大小；
（Ⅱ）由三角形内角和定理及等角对等边得到AB=BC，设BM=x，则AB=BC=2x，利用余弦定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与BC的值，再利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．
易错点
熟练掌握余弦定理是解本题的关键，利用余弦定理列方程解方程是易错点.
已知椭圆C1：
23. 求椭圆C1的方程；
24. （2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
正确答案
（1）椭圆方程为
解析
解：（1）由题意可得e=
将P（﹣2，1）代入椭圆方程可得
解得a=2
即有椭圆方程为
正确答案
解：
（2）证明：A，B，Q是P（﹣2，1）分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，
可设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），
直线l的斜率为k=
代入椭圆x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t2﹣4=0，
设C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），
即有△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，解得﹣2＜t＜2，（t≠0）
x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣4，
设直线PD，PE的斜率为k1，k2，
则k1+k2=
要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，
只需证k1+k2=0，即（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=0，
由y1=
可得（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=2（y2﹣y1）﹣（x1y2+x2y1）+x1﹣x2﹣4
=x2﹣x1﹣（x1x2+tx1+tx2）+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t（x1+x2）﹣4
=﹣（2t2﹣4）+2t2﹣4=0，
则直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
考查方向
解题思路
（1）运用椭圆的离心率公式和P满足椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），设直线l的方程为y=
易错点
第二问是本题的难点，计算证明的过程容易出错.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=4
28. 将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
29. （2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求
正确答案
（1）x2+y2﹣4x+4y=0．
解析
解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=4
可得直角坐标方程：x2+y2﹣4x+4y=0．
正确答案
（2）
解析
解：
（2）直线l的参数方程为：
t1+t2=﹣2
则
考查方向
解题思路
（1）圆C的极坐标方程为ρ=4
（2）直线l的参数方程为：
易错点
第二问的计算易出错，要特别仔细.
[选修4-5；不等式选讲]
已知函数f（x）=|x﹣a|．
30. （Ⅰ）若不等式f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值；
31. （Ⅱ）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．
正确答案
（1）a=2，m=3；
解析
解：（Ⅰ）∵f（x）≤m，
∴|x﹣a|≤m，
即a﹣m≤x≤a+m，
∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，
∴
正确答案
（2）（﹣∞，
解析
（Ⅱ）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，
则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．
当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．
当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0≤x≤
当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．
综上不等式的解集为（﹣∞，
考查方向
解题思路
（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．
（Ⅱ）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．
易错点
第二问分类讨论易出错.
已知函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）•ex，t∈R．
25. 当t=1时，求函数y=f（x）在x=0处的切线方程；
26. （2）若函数y=f（x）有三个不同的极值点，求t的取值范围；
27. （3）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．
正确答案
(1)切线方程为：y=4x+1；
解析
解：（1）∵t=1，f（x）=（x3﹣6x2+3x+1）•ex，
∴f'（x）=（x3﹣3x2﹣9x+4）•ex，
∴f'（0）=4；∵f（0）=1，即切点（0，1），
∴y=f（x）在x=0处的切线方程为：y=4x+1．
正确答案
（2）﹣8＜t＜24；
解析
（2）f′（x）=（3x2﹣12x+3）ex+（x3﹣6x2+3x+t）ex=（x3﹣3x2﹣9x+t+3）ex
∵f（x）有三个极值点，∴x3﹣3x2﹣9x+t+3=0有三个根，
令g（x）=x3﹣3x2﹣9x+t+3，g′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）
∴g（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上递增，（﹣1，3）上递减，
∵g（x）有三个零点，
∴
∴﹣8＜t＜24；
正确答案
（3）5
解析
（3）不等式f（x）≤x，即（x3﹣6x2+3x+t）ex≤x，
即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x．
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，
不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立．
即不等式2≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x在x∈[1，m]上恒成立；
设φ（x）=e﹣x﹣x2+6x﹣3，则φ（x）=﹣g﹣x﹣2x+6．
设r（x）=φ（x）=﹣g﹣x﹣2x+6，则r′（x）=g﹣x﹣2，
因为1≤x≤m，有r′（x）＜0．
故r（x）在区间[1，m]上是减函数，
又r（1）=4﹣e﹣1＞0，r（2）=2﹣e﹣2＞0，r（3）=﹣e﹣3＜0
故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ′（x0）=0．
当1≤x＜x0时，有φ′（x）＞0，当x＞x0时，有φ′（x）＜0．
从而y=φ（x）在区间[1，x0）上递增，在区间（x0，+∞）上递减；
又φ（1）=e﹣1+4＞0，φ（2）=e﹣2+5＞0，φ（3）=e﹣3+6＞0
φ（4）=e﹣4+5＞0，φ（5）=e﹣5+2＞0，φ（6）=e﹣6﹣3＜0
所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；当x≥6时，恒有φ（x）＜0；
故使命题成立的正整数m的最大值为5．
考查方向
解题思路
（1）求出f（x）的导数，就是f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（2）求导函数，利用f（x）有三个极值点，可得f′（x）=0有三个根，构造新函数，确定其单调性，从而可得不等式，即可求t的取值范围；
（3）不等式f（x）≤x，即（x3﹣6x2+3x+t）ex≤x，即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x，转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立，构造新函数，确定单调性，计算相应函数值的正负，即可求正整数m的最大值．
易错点
本题难度较大，易错点较多，步步为营，先争取前两问得全分.