理科数学 银川市2017年高三第一次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.复数z满足z•i=3﹣i,则在复平面内,复数z对应的点位于(  )

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

C

解析

解:由z•i=3﹣i,得

∴复数z对应的点的坐标为(﹣1,﹣3),位于第三象限.

故选:C.

考查方向

本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念.

解题思路

直接利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.

易错点

复数的运算要细心,注意i的平方等于-1,这样就不会出错.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.(x﹣2y)6的展开式中,x4y2的系数为(  )

A15

B﹣15

C60

D﹣60

正确答案

C

解析

解:(x﹣2y)6展开式的通项公式为

Tr+1=•x6﹣r•(﹣2y)r

令r=2,得T3=•x4•(﹣2y)2=60x4y2

所以x4y2的系数为60.

故选:C.

考查方向

本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的应用问题,是基础题目.

解题思路

根据二项式展开式的通项公式,利用展开式中x4y2,即可求出对应的系数.

易错点

二项式展开式的通项公式求特定项时,指数的运算容易出错.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解:由俯视图可知三棱柱的底面积为=2,∴原直三棱柱的体积为2×4=8.

由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥,四棱锥的底面为侧视图梯形的面积=6,由俯视图可知四棱锥的高为2,

∴四棱锥的体积为=4.

∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为

故选C.

考查方向

本题考查了几何体的三视图与体积计算.

解题思路

剩余几何体为四棱锥,分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积.

易错点

由三视图恢复成直观图时如果出错,就会出现计算错误.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.经过原点并且与直线x+y﹣2=0相切于点(2,0)的圆的标准方程是(  )

A(x﹣1)2+(y+1)2=2

B(x+1)2+(y﹣1)2=2

C(x﹣1)2+(y+1)2=4

D(x+1)2+(y﹣1)2=4

正确答案

A

解析

解:设圆心的坐标为(a,b),

则a2+b2=r2①,

(a﹣2)2+b2=r2②,

=1③;

由①②③组成方程组,解得

a=1,b=﹣1,r2=2;

故所求圆的标准方程是

(x﹣1)2+(y+1)2=2.

故选:A.

考查方向

本题考查了圆的标准方程以及直线与圆相切的位置关系,是基础题目.

解题思路

设出圆心坐标与半径,根据题意列出方程组,解方程组求出圆心与半径即可.

易错点

解方程组的运算是易错点,要细心.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法,若输入m=209,n=121,则输出m的值等于(  )

A10

B11

C12

D13

正确答案

B

解析

解:当m=209,n=121,m除以n的余数是88

此时m=121,n=88,m除以n的余数是33

此时m=88,n=33,m除以n的余数是22

此时m=33,n=22,m除以n的余数是11,

此时m=22,n=11,m除以n的余数是0,

此时m=11,n=0,

退出程序,输出结果为11,

故选:B.

考查方向

本题考查了算法和程序框图.

解题思路

先求出m除以n的余数,然后利用辗转相除法,将n的值赋给m,将余数赋给n,进行迭代,一直算到余数为零时m的值即可.

易错点

注意循环程序终止的条件.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.下列4个命题中正确命题的个数是

(1)对于命题p:∃x0∈R,使得x02﹣1≤0,则¬p:∀x∈R都有x2﹣1>0

(2)已知X~N(2,σ2),P(x>2)=0.5

(3)已知回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为=2x﹣3

(4)“x≥1”是“x+≥2”的充分不必要条件.(  )

A1

B2

C3

D4

正确答案

D

解析

解:(1)对于命题p:∃x0∈R,使得x02﹣1≤0,则¬p:∀x∈R都有x2﹣1>0,正确;

(2)已知X~N(2,σ2),P(x>2)=0.5,正确;

(3)已知回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为=2x﹣3,正确;

(4)“x≥1”可得“x+≥2”“x+≥2”不能得出“x≥1”,比如x=,则“x≥1”是“x+≥2”的充分不必要条件,正确.

故选D.

考查方向

本题考查命题的真假判断与应用,考查学生解题思路解决问题的能力.

解题思路

对4个命题分别进行判断,即可得出结论.

易错点

本题考查知识点较多,(2)(3)是易错点.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.已知点A是双曲线(a,b>0)右支上一点,F是右焦点,若△AOF(O是坐标原点)是等边三角形,则该双曲线离心率e为(  )

A

B

C1+

D1+

正确答案

D

解析

解:依题意及三角函数定义,点A(ccos,csin),即A(),

代入双曲线方程

可得  b2c2﹣3a2c2=4a2b2,又c2=a2+b2,得e2=4+2,e=

故选:D.

考查方向

本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.

解题思路

利用已知条件求出A坐标,代入双曲线方程,可得a、b、c,关系,然后求解离心率即可.

易错点

双曲线的几何性质应用中,a,b,c的关系一定与椭圆区分清楚,否则会出错.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合,则

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解:∵集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3},B={﹣1,0,1,2,3},

∴A∩B={0,1,2}.

故选:B.

考查方向

本题考查交集的求法,是基础题.

解题思路

利用交集定义求解.

易错点

解题时仔细审题就不会出错.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.已知=(a,﹣2),=(1,1﹣a),且,则a=(  )

AA.﹣1

BB.2或﹣1

CC.2

DD.﹣2

正确答案

B

解析

解:∵=(a,﹣2),=(1,1﹣a),且

∴a(1﹣a)﹣(﹣2)×1=0,

化简得a2﹣a﹣2=0,

解得a=2或a=﹣1;

∴a的值是2或﹣1.

故选:B.

考查方向

本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题.

解题思路

根据两向量平行的坐标表示,列出方程,求出a的值即可.

易错点

本题是基础题目,注意两个向量平行的充要条件,不要漏解.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+a9=24,则S9=(  )

AA.36

BB.72

CC.144

DD.70

正确答案

B

解析

解:在等差数列{an}中,

由a2+a4+a9=24,得:3a1+12d=24,即a1+4d=a5=8.

∴S9=9a5=9×8=72.

故选:B.

考查方向

本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前n项和,含有奇数项的等差数列的前n项和,等于项数乘以中间项.

解题思路

把已知转化为含有首项和公差的等式,求出a5,然后直接由S9=9a5得答案.

易错点

等差数列性质“含有奇数项的等差数列的前n项和,等于项数乘以中间项”的应用时易出错.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.如果定义在R上的函数f(x)满足:对于任意x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),则称f(x)为“H函数”.给出下列函数:

①y=﹣x3+x+1;②y=3x﹣2(sinx﹣cosx);③y=ex+1;④f(x)=,其中“H函数”的个数有(  )

A3

B2

C1

D0

正确答案

A

解析

解:∵对于任意给定的不等实数x1,x2,不等式x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,

∴不等式等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]≥0恒成立,

即函数f(x)是定义在R上的不减函数(即无递减区间).

①函数y=﹣x3+x+1,则y′=﹣2x2+1,在在[﹣]函数为减函数.不满足条件.

②y=3x﹣2(sinx﹣cosx),y′=3﹣2cosx+2sinx=3+2(sinx﹣cosx)=3﹣2sin(x﹣)>0,函数单调递增,满足条件.

③y=ex+1是定义在R上的增函数,满足条件.

④f(x)=,x≥1时,函数单调递增,当x<1时,函数为常数函数,满足条件.

故选:A

考查方向

本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了函数的图象和性质.

解题思路

不等式x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1)等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]≥0,即满足条件的函数为不减函数,判断函数的单调性即可得到结论.

易错点

本题难度较大,新定义中的条件翻译与理解是难点,也是易错点.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到g(x)的图象.若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[﹣2π,2π],则2x1﹣x2的最大值为(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解:函数的图象向左平移个单位,可得y=的图象,

再向上平移1个单位,得到g(x)=+1的图象.

若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[﹣2π,2π],

则g(x1)=g(x2)=3,

由x1,x2∈[﹣2π,2π],得:x1,x2∈{﹣,﹣},

当x1=,x2=﹣时,2x1﹣x2取最大值

故选:A

考查方向

本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义,函数图象的变换,三角函数的图象和性质.

解题思路

由已知可得g(x)=+1,若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[﹣2π,2π],则g(x1)=g(x2)=3,则,结合x1,x2∈[﹣2π,2π],可得答案.

易错点

在解三角方程g(x1)=g(x2)=3时,易出错.

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

15.学校艺术节对同一类的A,B,C,D四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:

甲说:“是C或D作品获得一等奖”;

乙说:“B作品获得一等奖”;

丙说:“A,D两项作品未获得一等奖”;

丁说:“是C作品获得一等奖”.

若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是  

正确答案

B

解析

解:若A为一等奖,则甲,丙,丁的说法均错误,故不满足题意,

若B为一等奖,则乙,丙说法正确,甲,丁的说法错误,故满足题意,

若C为一等奖,则甲,丙,丁的说法均正确,故不满足题意,

若D为一等奖,则只有甲的说法正确,故不合题意,

故若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是B

故答案为:B

考查方向

本题考查了合情推理的问题.

解题思路

根据学校艺术节对同一类的A,B,C,D四项参赛作品,只评一项一等奖,故假设A,B,C,D分别为一等奖,判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性,即可判断.

易错点

注意推理的合理性,并且进行反推检验就不会出错.

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.设数列{an}满足a1=2,a2=6,且an+2﹣2an+1+an=2,若[x]表示不超过x的最大整数,则=  

正确答案

2016

解析

解:∵构造bn=an+1﹣an,则b1=a2﹣a1=4,

由题意可得(an+2﹣an+1)﹣(an+1﹣an)=bn+1﹣bn=2,

故数列{bn}是4为首项,2为公差的等差数列,

故bn=an+1﹣an=4+2(n﹣1)=2n+2,

故a2﹣a1=4,a3﹣a2=6,a4﹣a3=8,…,an﹣an﹣1=2n,

以上n﹣1个式子相加可得an﹣a1=4+6+…+2n=,解得an=n(n+1),

==,∴+…+=++…+=1﹣

∴2017(+…+)=2017﹣=2016+

=2016.

故答案为:2016.

考查方向

本题考查了构造方法、等差数列的通项公式可、“累加求和”方法、“裂项求和”方法、取整数函数,考查了推理能力与计算能力.

解题思路

构造bn=an+1﹣an,则b1=a2﹣a1=4,由题意可得(an+2﹣an+1)﹣(an+1﹣an)=bn+1﹣bn=2,利用等差数列的通项公式可得:bn=an+1﹣an=2n+2,再利用“累加求和”方法可得an﹣a1=,解得an=n(n+1),==,利用“裂项求和”方法即可得出.

易错点

构造数列与“累加求和”方法与取整数函数都综合到一个题目中,难度较大,易错点也较多.

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.若两平面互相平行,第三个平面与这两个平面分别相交于l1,l2,则这两条直线之间的位置关系是  (填写“平行、相交、异面”中的某一种或者某几种)

正确答案

平行

解析

解:根据平面与平面平行的性质定理,可得这两条直线之间的位置关系是平行.

故答案为:平行.

考查方向

本题考查平面与平面平行的性质定理.

解题思路

根据平面与平面平行的性质定理,可得这两条直线之间的位置关系.

易错点

本题只要正确理解平面与平面平行的性质定理就不会出错.

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.设实数x,y满足,则2x﹣y的最小值为  

正确答案

1

解析

解:不等式组对应的平面区域如图,设z=2x﹣y,当此直线经过图中B(0,﹣1)时,在y轴的截距最小,即z最小,所以z的最小值为1;

故答案为:1.

考查方向

本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法

解题思路

作出不等式组对应的平面区域,设z=2x﹣y,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最小值

易错点

利用数形结合的数学思想解决问题时,注意目标函数的斜率.

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度(单位:微克/立方米)的监测数据,数据统计如表:

19.     将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图.

①求图4中a的值;

②求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.

20.     (2)将频率视为概率,对于2016年的某3天,记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X,求X的分布列和数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)①a=0.004.②该居民取的环境需要改进.(

解析

解:(1)①a=0.004.②2016年该居民区PM2.5的年平均浓度=12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5(微克/立方米),∵42.5>35,∴2016年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民取的环境需要改进.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)X的分布列为:

E(X)=2.7.

解析

(2)由题意可得:PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9,X的可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=,可得P(X=0)=0.001,P(X=1)=0.027,P(X=2)=0.243,

P(X=3)=0.729.

X的分布列为:

E(X)=0×0.001+1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7,或E(X)=3×0.9=2.7.

考查方向

本题考查了频率分布直方图的性质及其应用、二项分布列的概率计算公式及其数学期望,考查推理能力与计算能力.

解题思路

(1)①a=0.004.②2016年该居民区PM2.5的年平均浓度=12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1,与35比较即可判断出结论.

(2)由题意可得:PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9,X的可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=

易错点

计算数学期望时易出错.

1
题型:简答题
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分值: 12分

如图,已知在四棱锥P﹣ABCD中,O为AB中点,POC平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,PA=PB=BC=AB=2,AD=3

21.     求证:平面PAB⊥面ABCD

22.     (2)求二面角O﹣PD﹣C的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)证明:∵AD∥BC,AB⊥BC,BC=AB=2,AD=3.

∵OC2=OB2+BC2=5,

∴OC⊥CD,即CD⊥平面POC,

∴CD⊥PO.

∵PA=PB=AB,O为AB中点,

∴PO⊥AB,

∴PO⊥底面ABCD,

∵PO⊂平面PAB,

∴平面PAB⊥面ABCD…(6分)

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)二面角O﹣PD﹣C的余弦值为

解析

(2)解:过点C作CM⊥OD于点M,过点M作MN⊥PD于点N,连接CN.

则由于PO⊥平面OCD,PO⊂平面POD,所以平面POD⊥平面OCD,

∵CM⊂平面OCD,平面POD∩平面OCD=OD,∴CM⊥平面POD,∴CM⊥PD,

∵MN⊥PD,MN∩CM=M,∴PD⊥平面MCN,∴PD⊥NC,

即∠MNC是二面角O﹣PD﹣C的平面角.

在Rt△OCD中,CM==

在Rt△PCD中,CN==

所以MN=,所以二面角O﹣PD﹣C的余弦值为.…(12分)

考查方向

本题考查线面垂直,考查面面角,考查学生解题思路解决问题的能力,正确运用线面垂直的判定是关键.

解题思路

(1)利用侧面PAB⊥底面ABCD,可证PO⊥底面ABCD,从而可证PO⊥CD,利用线面垂直的判定,可得PO⊥底面ABCD,即可证明结论;

(2)过点C作CM⊥OD于点M,过点M作MN⊥PD于点N,连接CN,证明∠MNC是二面角O﹣PD﹣C的平面角,从而可求二面角O﹣PD﹣C的余弦值.

易错点

寻找二面角的平面角是本题的难点,也可以利用空间直角坐标系中的法向量法来解决,不管哪种方法,都要注意计算的准确度.

1
题型:简答题
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分值: 12分

如图,在△ABC中,M是边BC的中点,tan∠BAM=,cos∠AMC=﹣

17.     (Ⅰ)求角B的大小;

18.     (Ⅱ)若角∠BAC=,BC边上的中线AM的长为,求△ABC的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

B=

解析

解:(Ⅰ)由题意可知∠AMB+∠AMC=π,

又cos∠AMC=﹣

∴cos∠AMB=,sin∠AMB=,tan∠AMB=

∴tanB=﹣tan(∠BAM+∠BMA)=﹣=﹣=﹣

又B∈(0,π),

∴B=

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解:

(Ⅱ)由(Ⅰ)知∠B=,且∠BAC=

∴∠C=,即∠BAC=∠C,

∴AB=BC,

设BM=x,则AB=2x,

在△AMB中,由余弦定理得AM2=AB2+BM2﹣2AB•BM•cosB,即7=4x2+x2+2x2

解得:x=1(负值舍去),

∴AB=BC=2,

则S△ABC=•4•sin=

考查方向

此题考查了余弦定理,三角形面积公式,诱导公式,以及同角三角函数间的基本关系.

解题思路

(Ⅰ)由邻补角定义及诱导公式得到cos∠AMC=﹣cos∠AMB,求出cos∠AMB的值,利用同角三角函数间的基本关系求出tan∠AMB的值,再利用诱导公式求出tanB的值,即可确定出B的大小;

(Ⅱ)由三角形内角和定理及等角对等边得到AB=BC,设BM=x,则AB=BC=2x,利用余弦定理列出方程,求出方程的解得到x的值,确定出AB与BC的值,再利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可.

易错点

熟练掌握余弦定理是解本题的关键,利用余弦定理列方程解方程是易错点.

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知椭圆C1+=1(a>b>0)的离心率为,P(﹣2,1)是C1上一点.

23.     求椭圆C1的方程;

24.     (2)设A,B,Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点,平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C,D,点C关于原点的对称点为E.证明:直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)椭圆方程为+=1;

解析

解:(1)由题意可得e==,且a2﹣b2=c2

将P(﹣2,1)代入椭圆方程可得+=1,

解得a=2,b=,c=

即有椭圆方程为+=1;

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解:

(2)证明:A,B,Q是P(﹣2,1)分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点,

可设A(﹣2,﹣1),B(2,1),Q(2,﹣1),

直线l的斜率为k=,设直线l的方程为y=x+t,(t≠0)

代入椭圆x2+4y2=8,可得x2+2tx+2t2﹣4=0,

设C(x1,y1),D(x2,y2),E(﹣x1,﹣y1),

即有△=4t2﹣4(2t2﹣4)>0,解得﹣2<t<2,(t≠0)

x1+x2=﹣2t,x1x2=2t2﹣4,

设直线PD,PE的斜率为k1,k2

则k1+k2=+=

要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形,

只需证k1+k2=0,即(2﹣x1)(y2﹣1)﹣(2+x2)(y1+1)=0,

由y1=x1+t,y2=x2+t,

可得(2﹣x1)(y2﹣1)﹣(2+x2)(y1+1)=2(y2﹣y1)﹣(x1y2+x2y1)+x1﹣x2﹣4

=x2﹣x1﹣(x1x2+tx1+tx2)+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t(x1+x2)﹣4

=﹣(2t2﹣4)+2t2﹣4=0,

则直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形.

考查方向

本题考查椭圆的方程的求法,注意运用离心率公式和点满足椭圆方程,考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理,以及直线的斜率公式和运用,化简整理的运算能力.

解题思路

(1)运用椭圆的离心率公式和P满足椭圆方程,解得a,b,进而得到椭圆方程;

(2)设A(﹣2,﹣1),B(2,1),Q(2,﹣1),设直线l的方程为y=x+t,代入椭圆方程,设C(x1,y1),D(x2,y2),E(﹣x1,﹣y1),运用韦达定理,设直线PD,PE的斜率为k1,k2,要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形,只需证k1+k2=0,化简整理,代入韦达定理,即可得证.

易错点

第二问是本题的难点,计算证明的过程容易出错.

1
题型:简答题
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分值: 10分

[选修4-4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中,以原点为O极点,以x轴正半轴为极轴,圆C的极坐标方程为ρ=4

28.     将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;

29.     (2)过点P(2,0)作斜率为1直线l与圆C交于A,B两点,试求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)x2+y2﹣4x+4y=0.

解析

解:(1)圆C的极坐标方程为ρ=4,展开可得:ρ2=4×ρ(cosθ﹣sinθ),

可得直角坐标方程:x2+y2﹣4x+4y=0.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)=

解析

解:

(2)直线l的参数方程为:(t为参数),代入上述方程可得:t2+2t﹣4=0.

t1+t2=﹣2,t1t2=﹣4,

=====

考查方向

本题考查了极坐标方程化为参数方程、参数方程化为普通方程及其应用、直线与圆相交弦长问题,考查了推理能力与计算能力.

解题思路

(1)圆C的极坐标方程为ρ=4,展开可得:ρ2=4×ρ(cosθ﹣sinθ),利用互化公式即可得出直角坐标方程.

(2)直线l的参数方程为:(t为参数),代入上述方程可得:t2+2t﹣4=0.===

易错点

第二问的计算易出错,要特别仔细.

1
题型:简答题
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分值: 10分

[选修4-5;不等式选讲]

已知函数f(x)=|x﹣a|.

30.     (Ⅰ)若不等式f(x)≤m的解集为[﹣1,5],求实数a,m的值;

31.     (Ⅱ)当a=2且0≤t<2时,解关于x的不等式f(x)+t≥f(x+2).

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)a=2,m=3;

解析

解:(Ⅰ)∵f(x)≤m,

∴|x﹣a|≤m,

即a﹣m≤x≤a+m,

∵f(x)≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5},

,解得a=2,m=3.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)(﹣∞,].

解析

(Ⅱ)当a=2时,函数f(x)=|x﹣2|,

则不等式f(x)+t≥f(x+2)等价为|x﹣2|+t≥|x|.

当x≥2时,x﹣2+t≥x,即t≥2与条件0≤t<2矛盾.

当0≤x<2时,2﹣x+t≥x,即0≤x≤成立.

当x<0时,2﹣x+t≥﹣x,即t≥﹣2恒成立.

综上不等式的解集为(﹣∞,].

考查方向

本题主要考查绝对值不等式的解法,要求熟练掌握绝对值的化简技巧.

解题思路

(Ⅰ)根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a,m的值.

(Ⅱ)根据绝对值的解法,进行分段讨论即可得到不等式的解集.

易错点

第二问分类讨论易出错.

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知函数f(x)=(x3﹣6x2+3x+t)•ex,t∈R.

25.     当t=1时,求函数y=f(x)在x=0处的切线方程;

26.     (2)若函数y=f(x)有三个不同的极值点,求t的取值范围;

27.     (3)若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立,求正整数m的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)切线方程为:y=4x+1;

解析

解:(1)∵t=1,f(x)=(x3﹣6x2+3x+1)•ex

∴f'(x)=(x3﹣3x2﹣9x+4)•ex

∴f'(0)=4;∵f(0)=1,即切点(0,1),

∴y=f(x)在x=0处的切线方程为:y=4x+1.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)﹣8<t<24;

解析

(2)f′(x)=(3x2﹣12x+3)ex+(x3﹣6x2+3x+t)ex=(x3﹣3x2﹣9x+t+3)ex

∵f(x)有三个极值点,∴x3﹣3x2﹣9x+t+3=0有三个根,

令g(x)=x3﹣3x2﹣9x+t+3,g′(x)=3x2﹣6x﹣9=3(x+1)(x﹣3)

∴g(x)在(﹣∞,﹣1),(3,+∞)上递增,(﹣1,3)上递减,

∵g(x)有三个零点,

∴﹣8<t<24;

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(3)5

解析

(3)不等式f(x)≤x,即(x3﹣6x2+3x+t)ex≤x,

即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x.

转化为存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],

不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立.

即不等式2≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x在x∈[1,m]上恒成立;

设φ(x)=e﹣x﹣x2+6x﹣3,则φ(x)=﹣g﹣x﹣2x+6.

设r(x)=φ(x)=﹣g﹣x﹣2x+6,则r′(x)=g﹣x﹣2,

因为1≤x≤m,有r′(x)<0.

故r(x)在区间[1,m]上是减函数,

又r(1)=4﹣e﹣1>0,r(2)=2﹣e﹣2>0,r(3)=﹣e﹣3<0

故存在x0∈(2,3),使得r(x0)=φ′(x0)=0.

当1≤x<x0时,有φ′(x)>0,当x>x0时,有φ′(x)<0.

从而y=φ(x)在区间[1,x0)上递增,在区间(x0,+∞)上递减;

又φ(1)=e﹣1+4>0,φ(2)=e﹣2+5>0,φ(3)=e﹣3+6>0

φ(4)=e﹣4+5>0,φ(5)=e﹣5+2>0,φ(6)=e﹣6﹣3<0

所以当1≤x≤5时,恒有φ(x)>0;当x≥6时,恒有φ(x)<0;

故使命题成立的正整数m的最大值为5.

考查方向

本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查函数的单调性,考查学生解题思路解决问题的能力.

解题思路

(1)求出f(x)的导数,就是f(0),f′(0),求出切线方程即可;

(2)求导函数,利用f(x)有三个极值点,可得f′(x)=0有三个根,构造新函数,确定其单调性,从而可得不等式,即可求t的取值范围;

(3)不等式f(x)≤x,即(x3﹣6x2+3x+t)ex≤x,即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x,转化为存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立,构造新函数,确定单调性,计算相应函数值的正负,即可求正整数m的最大值.

易错点

本题难度较大,易错点较多,步步为营,先争取前两问得全分.

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