理科数学 海淀区2011年高三试卷
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.   设全集U=R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M=,N=,那么集合等于(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.   下列命题中,正确的是(    )

A若z,则0

B,且,则

C,则是纯虚数

D,则+1 对应的点在复平面内的第一象限

正确答案

D

解析

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知识点

四种命题及真假判断
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.   如图,直线的右下方有一点,则的值(   )

A与C同号

B与A同号

C与B同号

D与A,B均同号

正确答案

B

解析

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知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.   如图,在棱长为a的正方体ABCD-中,P为的中点,Q为上任意一点,E,F为CD上任意两点,且EF的长为定值。则下面的四个结论中:

①点P到平面QEF的距离为定值;

②直线PQ与平面PEF所成的角为定值;

③二面角P-EF-Q的大小为定值;

④三棱锥P-QEF的体积为定值。

正确的是(    )

A① ② ③

B② ③ ④

C① ③ ④

D① ② ④

正确答案

C

解析

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知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.   国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况,它的计算公式,x::人均食品支出总额;y:人均个人消费支出总额。若y=2x+475。各种类型家庭:

李先生居住地2004年比2000年食品价格下降了7.5%,该家庭在2004年购买食品地与2000年大致相同的情况下,人均少支出了75元,则该家庭2004年属于(    )

A贫困

B温饱

C小康

D富裕

正确答案

D

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.   已知:f(x)是定义在R上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为T,则f()等于(    )

A0

B

CT

D

正确答案

A

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.   若函数f(x)=的图象如图所示,则一定有(    )

Aa<0  b>0  c>0  d<0

Ba<0  b<0  c>0  d<0

Ca<0  b>0  c<0  d<0

Da<0  b<0  c<0  d<0

正确答案

A

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.   若关于x的不等式2->|x-a| 至少有一个负数解,则a的取值范围为(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

10. 已知函数 f(x)=,若f(2004)=3,则 f(2005)=__________.

正确答案

5

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
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分值: 5分

11. ,则__________,_________

正确答案

1;-1

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 5分

12. 把函数的图象,按向量 (m>0)平移后,所得的图象关于y轴对称,则m的最小正值为_________。

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13. 为椭园 的左右焦点,是它的一条准线,点P在上,则的最大值为____________。

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:填空题
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分值: 5分

9.   已知数列是等差数列,若,=13,则k=________________。

正确答案

18

解析

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知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:填空题
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分值: 5分

14. 设有两个命题:

(1)不等式|x|+|x-1|>m的解集为R;

(2)定义在R上的函数是减函数;

这两个命题中有且只有一个命题是真命题,则m的取值范围是___________。

正确答案

解析

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知识点

命题的真假判断与应用函数单调性的性质绝对值不等式的解法
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

16. 已知:且数列成等差数列。

(1)当n为正偶数时,,且=1,求数列的通项;

(2)在(1)的条件下,试比较与3的大小。

正确答案

(1)为偶数,则

的公差为d,则dn=n,所以,d=2。

又∵=1,

(2)

两式相减得:

所以,

所以,

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
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分值: 14分

17. 如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD,E 为侧棱PD的中点。

(1)求证:PB//平面EAC;

(2)求证:AE⊥平面PCD;

(3)若AD=AB,试求二面角A-PC-D的正切值;

(4)当为何值时,PB⊥AC ?

正确答案

(1)

证明:连DB,设,则在矩形ABCD中,O为BD中点。

连EO。因为E为DP中点,所以,

又因为平面EAC,平面EAC,

所以,PB//平面EAC。

(2)

正三角形PAD中,E为PD的中点,所以,

,所以,AE⊥平面PCD。

(3)在PC上取点M使得

由于正三角形PAD及矩形ABCD,且AD=AB,所以

所以,在等腰直角三角形DPC中,

连接,因为AE⊥平面PCD,所以,

所以,为二面角A-PC-D的平面角。

中,

即二面角A-PC-D的正切值为

(4)设N为AD中点,连接PN,则

又面PAD⊥底面ABCD,所以,PN⊥底面ABCD。

所以,NB为PB在面ABCD上的射影。

要使PB⊥AC,需且只需NB⊥AC

在矩形ABCD中,设AD=1,AB=x

解之得:

所以,当时,PB⊥AC。

证法二:(按解法一相应步骤给分)

设N为AD中点,Q为BC中点,则因为PAD是正三角形,底面ABCD是矩形,

所以,,又因为侧面PAD⊥底面ABCD,所以,

以N为坐标原点,NA、NQ、NP所在直线分别为轴如图建立空间直角坐标系。

(2)

所以,

所以,AE⊥平面PCD。

(3)当时,由(2)可知:是平面PDC的法向量;

设平面PAC的法向量为,则,即

,取,可得:

所以,

向量所成角的余弦值为:

所以,

又由图可知,二面角A-PC-D的平面角为锐角,

所以,二面角A-PC-D的平面角就是向量所成角的补角。其正切值等于

(4),令,得,所以,

所以,当时,PB⊥AC。

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知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
|
分值: 13分

15. 已知向量.

(1)向量是否共线?证明你的结论

(2)若函数f(x)=,求f(x)的最大值,并指出取最大值时对应的x值。

正确答案

(1)向量是共线的。

,

共线。

(2)f(x)=

∴ f(x)的最大值为

此时

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知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
|
分值: 14分

19. 点Q位于直线右侧,且到点与到直线的距离之和等于4.

(1)求动点Q的轨迹C;

(2)直线过点交曲线C于A、B两点,点P满足,又=(,0),其中O为坐标原点,求的取值范围;

(3)在(2)的条件下,能否成为以EF为底的等腰三角形?若能,求出此时直线的方程;若不能,请说明理由。

正确答案

(1)设,则,即:

,化简得:

所以,动点Q的轨迹为抛物线位于直线右侧的部分。

(2)因为,所以,P为AB中点;

又因为,且=(,0),

所以,点E为线段AB垂直平分线与x轴焦点。

由题可知:直线轴不垂直,所以可设直线的方程为

代入轨迹C的方程得到: (*)

,要使得与C有两个不同交点,需且只需

解之得:

由(*)式得:

所以,AB中点P的坐标为:

所以,直线EP的方程为

得到点E的横坐标为

因为,所以,∈(,-3)。

(3)不可能。

要使成为以EF为底的等腰三角形,需且只需

即:

解得:

另一方面,要使直线满足(2)的条件,需要

所以,不可能使成为以EF为底的等腰三角形。

解析

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知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
|
分值: 13分

18. 一个房间有3扇同样的窗子,其中只有一扇窗子是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入这个房间,它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里一次又一次地向着窗户飞去,试图飞出房间. 鸟飞向各扇窗子是随机的.

(1)假定鸟是没有记忆的,若这只鸟恰好在第x次试飞时飞出了房间,求试飞次数x的分布列;

(2)假定这只鸟是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试不多于一次,若这只鸟恰好在第y次试飞时飞出了房间,求试飞次数y的分布列。

正确答案

(1)试飞次数x的分布列如下:

(2)。试飞次数y的分布列如下:

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
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分值: 13分

20. 设是函数的两个极值点,且.

(1)证明:.

(2)若,证明当时,且时,

正确答案

(1)

是函数的两个极值点,知是方程的两个根。

所以,

又因为,所以,异号,

所以,2=

,其中

,则

所以,上单调递增,在单调递减。

所以,当时,

,所以,

方法二:

(2)

因为,且,所以,

所以,当时,

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

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