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设复数,则复数
的模为( )
正确答案
设为等差数列,公差
,
为其前
项和. 若
,则
( )
正确答案
已知集合,
,则
( )
正确答案
当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
正确答案
5.设,
满足约束条件
,则
的最小值是( )
正确答案
函数的图象为( )
正确答案
已知函数,且
,
,
则以下结论正确的是( )
正确答案
若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中左视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是( )
正确答案
已知,则
是“
”的
正确答案
若 ,则
正确答案
已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为
,底面是边长为
的正三角形,若
为底面
的中心,则
与平面
所成角的大小为( )
正确答案
已知为自然对数的底数,若对任意的
,总存在唯一的
,使得
成立,则实数
的取值范围是 ( )
正确答案
已知点则
在
方向上的投影 .
正确答案
设若
是
与
的等比中项,则
的最小值为 .
正确答案
设是定义在
上的周期为
的函数,当
时,
,则
=___________.
正确答案
已知三棱锥三点均在球心为
的球表面上,
,
,三棱锥
的体积为
,则球
的表面积是___________.
正确答案
(本小题12分) 已知数列满足
,
,其中
为
的前
项和,
.
(Ⅰ)求数列的通项公式
;
(Ⅱ)若数列满足
,
的前
项和为
,且对任意的正整数
都有
,求
的最小值.
正确答案
解(1),
,
,
两式相减得
注意到,
,
于是,所以
.
(2)
所以的最小值为
.
(本小题12分)如图,平面平面
,四边形
为矩形,
.
为
的中点,
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若时,求二面角
的余弦值.
正确答案
(1)证明:连结,因
,
是
的中点,故
.
又因平面平面
,故
平面
, 于是
.又
,所以
平面
,所以
,又因
,故
平面
,所以
. 5分
(2)由(1),得,不妨设
,
,取
的中点
,以
为原点,
所在的直线分别为
轴,建立空间直角坐标系,则
,从而
设平面
的法向量,由
,
得,
同理可求得平面
的法向量
,设
的夹角为
,则
由于二面角为钝二面角,则余弦值为
. 7分
(本小题12分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.
(Ⅰ)设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量
的分布列和数学期望;
(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
正确答案
解:(Ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3;
则P(X=0)=(1﹣)×(1﹣
)(1﹣
)=
,
P(X=1)=×(1﹣
)×(1﹣
)+(1﹣
)×
×(1﹣
)+(1﹣
)×(1﹣
)×
=
,
P(X=2)=(1﹣)×
×
+
×(1﹣
)×
+
×
×(1﹣
)=
,
P(X=3)=×
×
=
;
所以,随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望为E(X)=0×
+1×
+2×
+3×
=
;6分
(Ⅱ)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,
则所求事件的概率为
P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)
=P(Y=0)•P(Z=1)+P(Y=1)•P(Z=0)
=×
+
×
=; (12分)
所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
(本小题12分)如图,在四边形中,
, 且
为正三角形.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,
,求
和
的长.
正确答案
解(Ⅰ)
因为,
所以
所以
(6分)
(Ⅱ)设,
,在
和
中由余弦定理得
代入得
解得或
(舍)
即,
(12分)
(本小题10分)在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(其中
为参数),曲线
,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线
的极坐标方程;
(Ⅱ)若射线(
)与曲线
分别交于
两点,求
.
高三数学第理科四次参考答案
正确答案
解:(Ⅰ)∵曲线C1的参数方程为(其中α为参数),
∴曲线C1的普通方程为x2+(y﹣2)2=7.∵曲线C2:(x﹣1)2+y2=1,
∴把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入(x﹣1)2+y2=1,
得到曲线C2的极坐标方程(ρcosθ﹣1)2+(ρsinθ)2=1,化简,得ρ=2cosθ.(5分)
(Ⅱ)依题意设A(),B(
),
∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0,
将(ρ>0)代入曲线C1的极坐标方程,得ρ2﹣2ρ﹣3=0,
解得ρ1=3,
同理,将(ρ>0)代入曲线C2的极坐标方程,得
,
∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣.( 10分)
(本小题12分)已知函数.
(Ⅰ)若,求曲线
在
处的切线方程;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,若对任意
,均存在
,使得
,求
的取值范围.
正确答案
解:(Ⅰ)由已知,
,所以斜率
,
又切点(1,2),所以切线方程为,即
故曲线在
处的切线方程为
.−−−−−−−−−−−−−−−−−(4分)
(Ⅱ)
①当时,由于
,故
,
,所以的单调递增区间为
.−−−−−−(6分)
②当时,由
,得
,
在区间
上
,在区间
上
,所以,函数
的单调递增区间是
,单调递减区间是
−−−−---------------−−−−(8分)
(Ⅲ)由已知,转化为.
,所以
由(Ⅱ)知,当时,
在
上单调递增,值域为
,故不符合题意.
当时,函数
的单调递增区间是
,单调递减区间是
,故
的极大值也为最大值为
,所以
,解得
.所以
的取值范围为
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(12分)