理科数学 热门试卷

解（1），，，

两式相减得

注意到，，

于是，所以.

（2）

所以的最小值为.

（1）证明：连结，因，是的中点，故．

又因平面平面，故平面， 于是．又，所以平面，所以，又因，故平面，所以．          5分

（2）由（1），得，不妨设，，取的中点，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，从而

设平面的法向量，由，

得，

同理可求得平面的法向量，设的夹角为，则

由于二面角为钝二面角，则余弦值为.      7分

解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；

则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，

P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，

P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，

P（X=3）=××=；

所以，随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；6分

（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，

则所求事件的概率为

P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）

=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）

=×+×

=；　　　（12分）

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．

解（Ⅰ）

因为，

所以

所以

                                            （6分）

（Ⅱ）设，，在和中由余弦定理得

代入得 

解得或（舍）

即，     （12分）

解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数），

∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2=7．∵曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，

∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）2+y2=1，

得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，化简，得ρ=2cosθ．（5分）

（Ⅱ）依题意设A（），B（），

∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，

将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，

解得ρ1=3，

同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，

∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．（ 10分）