理科数学 热门试卷

解：若p成立，由m∈[﹣1，1]得，

即a2﹣5a﹣3≥3，解得a≥6或a≤﹣1；

若q成立，则不等式中△＞0，解得或；

若“p或q”为真，“p且q”为假，则命题p与q一真一假，

（1）若p真q假，则；

（2）若p假q真，则；

综上：a的取值范围是或

（1）

⇒sinBsinA﹣sinBsin2C=sinAsin2C﹣sinBsin2C

⇒sinB=sin2C，

因为，

所以B=π﹣2C⇒B+C=π﹣C⇒π﹣A=π﹣C⇒A=C

即△ABC为等腰三角形．

（2）因为

所以，

而

所以

（1）（方法一）由题设知，

则．

所以．

故所求的两条对角线的长分别为、．

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，

则：E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）

故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；

（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），．

由（）•=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）=0，

从而5t=﹣11，所以．

或者：，，

（1）==，

∴周期T=π．

（2）f （A）=2，即，

∵a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，

∴b2+c2﹣bc=3，

又b2+c2+2bc=9，∴bc=2，b+c=3，b＞c，解得．

（1）由抛物线经过点O（0，0）、A（m，0）

设抛物线方程y=kx（x﹣m）（k≠0），

又抛物线过点P（m+1，m+1），则m+1=k（m+1）（m+1﹣m），得k=1，

所以y=g（x）=x（x﹣m）．

∴f（x）=（x﹣n）g（x）=x3﹣（m+n）x2+mnx，

∴f′（x）=3x2﹣2（m+n）x+mn，

∵函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，

∴f′（a）=0，f′（b）=0，

∵m＞n＞0，

∴f′（m）=3m2﹣2（m+n）m+mn=m（m﹣n）＞0

f′（n）=3n2﹣2（m+n）n+mn=n（n﹣m）＜0，

又b＜a，故b＜n＜a＜m．

（2）设切点Q（x0，y0），则切线的斜率k=f′（x0）=3x02﹣2（m+n）x0+mn

又y0=﹣（m+n）+mnx0，所以切线的方程是y﹣+（m+n）﹣mnx0=[3x02﹣2（m+n）x0+mn]（x﹣x0）

又切线过原点，故﹣+（m+n）﹣mnx0=[3x02﹣2（m+n）x0+mn]（﹣x0）

所以2﹣（m+n）=0，解得x0=0，或x0=．

两条切线的斜率为k1=f′（0）=mn，，

由，得（m+n）2≥8，∴，

∴，

所以

又两条切线垂直，故k1k2=﹣1，

所以上式等号成立，有，且mn=1．

所以f（x）=x3﹣（m+n）x2+mnx=x3﹣x2+x．