理科数学 和平区2017年高三第一次联合考试
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.(2016•海南校级二模)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若c2=(a﹣b)2+6,C=,则△ABC的面积(  )

A3

B

C

D3

正确答案

C

解析

∵c2=(a﹣b)2+6,

∴c2=a2﹣2ab+b2+6,

即a2+b2﹣c2=2ab﹣6,

∵C=

∴cos===

解得ab=6,

则三角形的面积S=absinC==

故选:C

考查方向

本题主要考查三角形的面积的计算,根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与正余弦定理等知识点交汇命题。

解题思路

根据条件进行化简,结合三角形的面积公式进行求解即可.

易错点

该题易错点在公式的应用,容易将公式记错.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.(2016•贺州模拟)已知函数f(x)=,则f(0)+f(log232)=(  )

A19

B17

C15

D13

正确答案

A

解析

函数f(x)=

则f(0)+f(log232)=log24+1+=2+1+=19.

故选:A.

考查方向

本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力.

解题思路

利用函数的解析式,对应取值范围求解函数值即可.

易错点

该题易错点是容易忽略分段函数取值范围.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.(2016•衡阳校级模拟)在等差数列{an}中,a5=33,公差d=3,则201是该数列的第(  )项.

A60

B61

C62

D63

正确答案

B

解析

由题意可得等差数列{an}的通项公式

an=a5+(n﹣5)d=33+3(n﹣5)=3n+18,

令an=3n+18=201可得n=61

考查方向

本题考查了等差数列知识点,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与等差数列前n项和等知识点交汇命题。

解题思路

由题意易得通项公式,令其等于201解n值可得.

易错点

该题较简单,但很容易出现计算失误.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.(2012•重庆)设x∈R,向量=(x,1),=(1,﹣2),且,则|+|=(  )

A

B

C2

D10

正确答案

B

解析

因为x∈R,向量=(x,1),=(1,﹣2),且

所以x﹣2=0,所以=(2,1),

所以=(3,﹣1),

所以|+|=

故选B.

考查方向

本题考查向量的基本运算,模的求法,考查计算能力.

解题思路

通过向量的垂直,求出向量,推出,然后求出模.

易错点

该题较简单,但很容易出现计算失误.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.(2014•许昌一模)将函数f(x)=3sin(4x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)图象的一条对称轴是(  )

Ax=

Bx=

C

D

正确答案

C

解析

将函数f(x)=3sin(4x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,可得函数y=3sin(2x+)的图象,

再向右平移个单位长度,可得y=3sin[2(x﹣)+]=3sin(2x﹣)的图象,

故g(x)=3sin(2x﹣).

令 2x﹣=kπ+,k∈z,得到 x=•π+,k∈z.

则得 y=g(x)图象的一条对称轴是

故选:C.

考查方向

本题主要考查函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律,函数y=Asin(ωx+∅)的图象的对称轴.

解题思路

根据函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律,得到g(x)=3sin(2x﹣),从而得到g(x)图象的一条对称轴是x=.

易错点

该题易错点是横坐标的伸缩变换..

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.(2016秋•天津期中)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在[﹣3,﹣2]上是减函数,若α,β是锐角三角形的两个内角,则(  )

Af(sinα)>f(sinβ)

Bf(sinα)<f(cosβ)

Cf(cosα)<f(cosβ)

Df(sinα)>f(cosβ)

正确答案

D

解析

由题意:可知f(x+2)=f(x),

∴f(x)是周期为2的函数,

∵f(x)在[﹣3,﹣2]上为减函数,

∴f(x)在[﹣1,0]上为减函数,

又∵f(x)为偶函数,根据偶函数对称区间的单调性相反,

∴f(x)在[0,1]上为单调增函数.

∵在锐角三角形中,π﹣α﹣β<,

∴π﹣α﹣β,即

>α>﹣β>0,

∴sinα>sin()=cosβ;

∵f(x)在[0,1]上为单调增函数.

所以f(sinα)>f(cosβ),

故选D选项.

考查方向

本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用,以及三角函数的图象和性质,综合性较强,涉及的知识点较多.

解题思路

根据f(x+2)=f(x),所以函数的周期为2,在[﹣3,﹣2]上是减函数,可得f(x)在[﹣1,0]上为减函数,因为f(x)为偶函数,所以f(x)在[0,1]上为单调增函数.在根据α,β是锐角三角形的两个内角,利用三角函数诱导公式化简可得答案.

易错点

该题易错点是容易混淆正余弦函数的单调性.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.(2016•连城县校级模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),若bn+1=(n﹣2λ)•(+1)(n∈N*),b1=﹣λ,且数列{bn}是单调递增数列,則实数λ的取值范围是(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由an+1=得,

则,+1=2(+1)

由a1=1,得+1=2,

∴数列{+1}是首项为2,公比为2的等比数列,

+1=2×2n﹣1=2n

由bn+1=(n﹣2λ)•(+1)=(n﹣2λ)•2n

∵b1=﹣λ,

b2=(1﹣2λ)•2=2﹣4λ,

由b2>b1,得2﹣4λ>﹣λ,得λ<

此时bn+1=(n﹣2λ)•2n为增函数,满足题意.

∴实数λ的取值范围是

故选C选项

考查方向

本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列,考查了推理能力与计算能力.

解题思路

由数列递推式得到{+1}是首项为2,公比为2的等比数列,求出其通项公式后代入bn+1=(n﹣2λ)•2n,由b2>b1求得实数λ的取值范围,验证满足bn+1=(n﹣2λ)•2n为增函数得答案.

易错点

该题易错点是递推公式的推导变换.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.(2016秋•天津期中)设函数f(x)=,关于x的方程[f(x)]2+mf(x)﹣1=0有三个不同的实数解,则实数m的取值范围是(  )

A(﹣∞,e﹣

B(e﹣,+∞)

C(0,e)

D(1,e)

正确答案

B

解析

f′(x)=

∴当x>e时,f′(x)<0,当0<x<e时,f′(x)>0,

∴f(x)在(0,e]上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.

∴fmax(x)=f(e)=.

作出f(x)的大致函数图象如下:

由图象可知当0<k时,f(x)=k有两解,

当k≤0或k=时,f(x)=k有一解,当k时,f(x)=k无解.

令g(x)=x2+mx﹣1,则g(f(x))有三个零点,

∴g(x)在(0,)上有一个零点,在(﹣∞,0]∪{}上有一个零点.

∵g(x)的图象开口向上,且g(0)=-1,∴g(x)在(﹣∞,0)上必有一个零点,

∴g()>0,即

解得m>e﹣.

故选B选项

考查方向

本题考查了函数的单调性,零点的存在性定理,二次函数的性质.

解题思路

求出f(x)的单调性和极值,判断方程f(x)=k的根的情况,令g(x)=x2+mx﹣1,根据f(x)=k的根的情况得出g(x)的零点分布情况,利用零点的存在性定理列出不等式求出m的范围.

易错点

该题易错点是进行区分时分类标准的确定.

填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

9.(2016秋•天津期中)设复数z满足(z+i)i=﹣3+4i(i为虚数单位),则z的模为  .

正确答案

2

解析

(z+i)i=﹣3+4i,

∴(z+i)i2=(﹣3+4i)i,

即﹣z﹣i=﹣3i﹣4,

∴z=4+2i,

∴|z|==

故答案为.

考查方向

考查复数的代数运算和模的计算,有效考查了学生应用知识分析解决问题的能力和计算能力.

解题思路

先将z化成代数形式,再根据复数模的计算公式计算,或者利用复数模的运算性质计算.

易错点

本题易在计算复数的代数形式时出错.

1
题型:填空题
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分值: 5分

10.(2015•潮南区模拟)计算(2x+)dx=  .

正确答案

e2

解析

(2x+)dx=(x2+lnx)=e2+lne﹣1﹣ln1=e2

故答案为e2

考查方向

本题主要考查了定积分的运算,定积分的题目往往先求出被积函数的原函数.

解题思路

先求出被积函数2x+的原函数,然后根据定积分的定义求出所求即可.

易错点

本题易在计算积分时出错.

1
题型:填空题
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分值: 5分

11.(2015秋•商丘期末)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)•f(x)=1对于x∈R恒成立,且f(x)>0,则f(2015)=  .

正确答案

1

解析

∵偶函数f(x)满足f(x+2)•f(x)=1,

∴f(x+2)=

∴f(x+4)=f(x),

所以函数的周期T=4,f(2015)=f(3);

令x=﹣1,f(1)•f(﹣1)=1=f2(1),

又f(x)>0,

∴f(1)=1,f(3)==1;

∴f(2015)=1.

故答案为:1.

考查方向

本题考查了函数周期性的应用问题,解题时要利用好题中f(x+2)•f(x)=1的关系式.

解题思路

先根据条件求出函数f(x)的周期为4,再根据周期把所求问题转化,即可求出答案.

易错点

本题易在用f(x+2)•f(x)=1推导周期的过程中出错.

1
题型:填空题
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分值: 5分

12.(2011•太原校级模拟)若=3,tan(α﹣β)=2,则tan(β﹣2α)=  .

正确答案

解析

==3,

∴tanα=2.

又tan(α﹣β)=2,

∴tan(β﹣2α)=tan[(β﹣α)﹣α]

=﹣tan[(α﹣β)+α]

=﹣=.

故答案为

考查方向

此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正切函数公式化简求值,是一道综合题.

解题思路

把已知的第1个等式左边的分子分母都除以cosα,利用同角三角函数间的基本关系化简,得到tanα的方程,即可求出tanα的值,然后把所求的式子中的角β﹣2α变换为(β﹣α)﹣α后,利用两角差的正切函数公式化简,将求出的tanα的值和已知的tan(α﹣β)=2代入即可求出值.

易错点

本题易错点是恒等变换的过程及两角和的正切公式的记忆.

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.(2016秋•天津期中)D为△ABC的BC边上一点,,过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F,若,其中λ>0,μ>0,则=  .

正确答案

3

解析

如图所示,

=+=+

=(1﹣λ)

又E,D,F三点共线,

∴存在实数k,使=k=k()=kμ﹣kλ

=﹣2

==

∴(1﹣λ)=(kμ﹣kλ)﹣(),

即(1﹣λ)=(kμ﹣+(﹣kλ)

解得μ=,λ=

,,

解得μ=,λ=

=3(1﹣k)+3k=3.

故答案为3.

考查方向

本题考查了平面向量的加法、减法运算,共线向量基本定理,以及平面向量基本定理,是综合性题目.

解题思路

根据题意画出图形,结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理,列出方程组求出λ与μ的表达式,即可求出的值.

易错点

本题易错点是解方程.

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.(2016秋•天津期中)已知奇函数f(x)定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),f′(x)为其导函数,且满足以下条件①x>0时,f′(x)<;②f(1)=;③f(2x)=2f(x),则不等式<2x2的解集为                .

正确答案

(﹣∞,﹣)∪(,+∞)

解析

令F(x)=,则F′(x)=

∵x>0时,f′(x)<

∴F′(x)<0,

∴F(x)在(0,+∞)上单调递减,又f(x)为奇函数,

∴F(x)=为偶函数,

∴F(x)在(﹣∞,0)上单调递增,

又f(1)=,f(2x)=2f(x),

∴f()=f(1)=,f()=f()=

∴F()==8,

<2x2等价于<8,即F(x)<F(),故|x|>

解得:x>或x<﹣.

故答案为:(﹣∞,﹣)∪(,+∞).

考查方向

本题考查利用导数研究函数的单调性,考查学生根据题意构造辅助函数的能力,考查分析、推理与逻辑思维能力.

解题思路

构造函数F(x)=,依题意,可分析得到F(x)=为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,在(﹣∞,0)上单调递增,由<2x2等价于<8,由f(1)=及f(2x)=2f(x),求得F()=8,则F(x)<F(),从而可得答案.

易错点

本题易错点是构造函数和等价转化的过程.

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

已知函数f(x)=2sinxcos(x+)+.

15.求函数f(x)的单调递减区间;

16.求函数f(x)在区间[0,]上的最大值及最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

[kπ+,kπ+],k∈Z

解析

函数f(x)=2sinxcos(x+)+=2sinx•(cosx﹣sinx)+=sinxcosx﹣sin2x+=sin2x﹣+=sin(2x+).

令2kπ+≤x≤2kπ+,求得kπ+≤x≤kπ+,可得函数的减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.

考查方向

本题主要考查了三角恒等变换及正弦函数的单调性.

解题思路

利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的单调性求得函数f(x)的单调递减区间.

易错点

本题易在计算单调性时出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

函数f(x)最大值为1;函数f(x)最小值为﹣.

解析

在区间[0,]上,2x+∈[],

故当2x+=时,函数f(x)取得最大值为1;当2x+=时,函数f(x)取得最小值为﹣.

考查方向

本题主要考查了三角型复合函数最值的求法.

解题思路

利用正弦函数的定义域和值域,求得函数f(x)在区间[0,]上的最值.

易错点

本题易在计算最值时出错,尤其是误以为最值一定在端点处取得.

1
题型:简答题
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分值: 14分

设函数f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx.

26.若f(x)在x=处的切线与直线4x+y=0平行,求a的值;

27.讨论函数f(x)的单调区间;

28.若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明f′(x0)<0.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

a=﹣6.

解析

由题知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx,

.

又∵f(x)的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行,

,即4a×+×(a+4)+1=﹣1,

解得  a=﹣6.

考查方向

本题考查了求导公式及导数的几何意义.

解题思路

利用求导公式求出导数并化简,由导数的几何意义和题意可得f′()=﹣4,解出a的值即可.

易错点

本题易错点是容易出现计算失误.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞).

解析

由26.得,

由题知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx的定义域为(0,+∞),

由x>0,得>0.

①当a≥0时,对任意x>0,f′(x)>0,

∴此时函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).

②当a<0时,令f′(x)=0,解得

时,f′(x)>0,当时,f′(x)<0,

此时,函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞).

考查方向

本题考查了利用导数研究函数的单调性,体现了分类讨论的思想方法.考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题的能力.

解题思路

对导数因式分解后,再求出函数f(x)的定义域,然后在定义域内分a≥0,a<0两种情况,解不等式f′(x)>0,f′(x)<0可得函数的单调区间.

易错点

本题易错点是区分时分类标准的界定.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

f′(x0)<0.

解析

不妨设A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,由27.知 a<0,

于是要证f'(x)<0成立,只需证:.

,①

,②

①﹣②得

故只需证

即证明

即证明,变形为

(0<t<1),令

=

显然当t>0时,g′(t)≥0,当且仅当t=1时,g′(t)=0,

∴g(t)在(0,+∞)上是增函数.

又∵g(1)=0,

∴当t∈(0,1)时,g(t)<0总成立,命题得证.

考查方向

本题考查了不等式的证明问题,考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.

解题思路

设出函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点的横坐标,利用分析法和根据(II)结论进行证明,根据要证明的结论和分析的过程,利用放缩法、换元法、构造函数法解答,再利用导数求出函数的最值,即可证明结论.

易错点

本题易错点是容易出现计算失误及对充分条件理解不深刻.

1
题型:简答题
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分值: 13分

设函数f(x)=lnx﹣ax2﹣bx

17.当a=b=时,求函数f(x)的单调区间;

18.当a=0,b=﹣1时,方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解,求实数m的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).

解析

依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞),

当a=b=时,f(x)=lnx﹣x2x,

∴f′(x)=

令f′(x)=0,解得:x=1或x=﹣2(舍去),经检验,x=1是方程的根.

当0<x<1时,f′(x)>0,当x>1时,f′(x)<0,

所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).

考查方向

本题主要考查了求导公式及利用导数确定函数的单调区间.

解题思路

将a,b的值代入,求出函数f(x)的表达式,导数,从而求出函数的单调区间.

易错点

本题易错点是忽视对数函数的定义域.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

m=1+或1≤m<1+.

解析

当a=0,b=﹣1时,f(x)=lnx+x,

由f(x)=mx得mx=lnx+x,

又因为x>0,所以m=1+

要使方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解,

只需m=1+有唯一实数解,

令g(x)=1+(x>0),∴g′(x)=(x>0),

由g′(x)>0,得:0<x<e,由g′(x)<0,得x>e,

所以g(x)在区间[1,e]上是增函数,在区间[e,e2]上是减函数,

g(1)=1+=1,g(e2)=1+=1+

g(e)=1+=1+

所以m=1+或1≤m<1+.

考查方向

本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及转化化归思想.

解题思路

将a,b的值代入函数的表达式,问题转化为只需m=1+有唯一实数解,求出函数y=g(x)=1+的单调性,从而求出m的范围.

易错点

本题易错点是等价转化的过程.

1
题型:简答题
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分值: 13分

已知数列{bn}的前n项和.

19.求数列{bn}的通项公式;

20.设数列{an}的通项,求数列{an}的前n项和Tn.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

bn=3n﹣2.

解析

∵数列{bn}的前n项和,∴b1=B1==1;

当n≥2时,bn=Bn﹣Bn﹣1==3n﹣2,当n=1时也成立.

∴bn=3n﹣2.

考查方向

本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系.

解题思路

利用递推关系即可得出.

易错点

本题易错点是忽略对首项的考虑.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

Tn=(3n﹣5)•2n+1+10[1﹣(﹣2)n].

解析

=(3n﹣2)•2n+(﹣1)n•2n.

设数列{(3n﹣2)•2n}的前n项和为An

则An=2+4×22+7×23+…+(3n﹣2)•2n

2An=22+4×23+…+(3n﹣5)•2n+(3n﹣2)•2n+1

∴﹣An=2+3(22+23+…+2n)﹣(3n﹣2)•2n+1=﹣4﹣(3n﹣2)•2n+1=(5﹣3n)•2n+1﹣10,

∴An=(3n﹣5)•2n+1+10.

数列{(﹣1)n•2n}的前n项和==[1﹣(﹣2)n].

∴数列{an}的前n项和Tn=(3n﹣5)•2n+1+10[1﹣(﹣2)n].

考查方向

本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”,考查了推理能力与计算能力.

解题思路

=(3n﹣2)•2n+(﹣1)n•2n.设数列{(3n﹣2)•2n}的前n项和为An,利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出;再利用等比数列的前n项和公式即可得出.

易错点

本题易错点是“错位相减法”的理解及应用.

1
题型:简答题
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分值: 13分

已知函数f(x)=x2﹣2ax+lnx(a∈R),x∈(1,+∞).

21.若函数f(x)有且只有一个极值点,求实数a的取值范围;

22.对于函数f(x)、f1(x)、f2(x),若对于区间D上的任意一个x,都有f1(x)<f(x)<f2(x),则称函数f(x)是函数f1(x)、f2(x)在区间D上的一个“分界函数”.已知f1(x)=(1﹣a2)lnx,f2(x)=(1﹣a)x2,问是否存在实数a,使得f(x)是函数f1(x)、f2(x)在区间(1,+∞)上的一个“分界函数”?若存在,求实数a的取值范围;若不存在,说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

a>1.

解析

f′(x)=,x∈(1,+∞),

令g(x)=x2﹣2ax+1,由题意得:g(x)在[1,+∞)有且只有1个零点,

∴g(1)<0,解得:a>1.

考查方向

本题考查了函数的单调性、极值问题.

解题思路

求出函数的导数,根据f(x)有且只有一个极值点,得到x2﹣2ax+1<0恒成立,求出a的范围即可.

易错点

本题易错点是忽略对首项的考虑.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

a∈[﹣]时,f(x)是函数f1(x)、f2(x)在区间(1,+∞)上的一个“分界函数”.

解析

若f(x)是函数f1(x)、f2(x)在区间(1,+∞)上的一个“分界函数”,

则x∈(1,+∞)时,f(x)﹣(1﹣a)x2<0恒成立且f(x)﹣(1﹣a2)lnx>0恒成立,

令h(x)=f(x)﹣(1﹣a)x2=(a﹣)x2﹣2ax+lnx,

则h′(x)=

①2a﹣1≤0即a≤时,当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,h(x)递减,且h(1)=﹣﹣a,

∴h(1)≤0,解得:﹣≤a≤

②2a﹣1>0即a>时,y=(a﹣)x2﹣2ax的图象开口向上,

存在x0>1,使得(a﹣﹣2ax0>0,

从而h(x0)>0,h(x)<0在(1,+∞)不恒成立,

令m(x)=f(x)﹣(1﹣a2)lnx=x2﹣2ax+a2lnx,

则m′(x)=≥0,m(x)在(1,+∞)递增,

由f(x)﹣(1﹣a2)lnx>0恒成立,得:m(1)≥0,解得:a≤

综上,a∈[﹣]时,f(x)是函数f1(x)、f2(x)在区间(1,+∞)上的一个“分界函数”.

考查方向

本题考查了导数的应用以及函数恒成立问题,考查新定义问题,是一道综合题.

解题思路

根据“分界函数”的定义,只需x∈(1,+∞)时,f(x)﹣(1﹣a)x2<0恒成立且f(x)﹣(1﹣a2)lnx>0恒成立,判断函数的单调性,求出a的范围即可.

易错点

本题易错点是对恒成立问题以及新定义问题的理解.

1
题型:简答题
|
分值: 14分

已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn,Sn=an2+an,n∈N*

23.求数列{an}的通项公式;

24.设数列{bn}满足:b1=1,bn﹣bn﹣1=2an(n≥2),求数列{}的前n项和Tn。

25.若Tn≤λ(n+4)对任意n∈N*恒成立,求λ的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

an=.

解析

∵Sn=an2+an

∴Sn+1=an+12+an+1

两式相减得:an+1=+(an+1﹣an),

∴(an+1+an)(an+1﹣an)=0,

∵数列{an}的各项都是正数,

∴an+1﹣an=

又∵a1=+a1

∴a1=

∴数列{an}是以为首项、为公差的等差数列,

∴an=+(n﹣1)=

考查方向

本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系.

解题思路

通过Sn=an2+an、Sn+1=an+12+an+1,作差、分析可得an+1﹣an=,进而可得结论.

易错点

本题易错点是忽略对重复等价命题策略的应用.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

∵an=

∴bn﹣bn﹣1=2an=2•=n,

∴b2﹣b1=2,

b3﹣b2=3,

bn﹣bn﹣1=n,

累加得:bn﹣b1=

又∵b1=1,

∴bn=b1+=1+=

==2(),

考查方向

本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系.

解题思路

通过an=,可得bn﹣bn﹣1=n,累加即得:bn﹣b1=,从而可得bn=,裂项可得=2(),并项相加即得结论.

易错点

本题易错点是裂项时的恒等变形.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

(3)∵Tn=

∴Tn≤λ(n+4),

∴λ≥==

∵n+≥2=4当且仅当n=2时取等号,

∴当n=2时有最大值

.

考查方向

本题考查了基本不等式.

解题思路

通过Tn=、Tn≤λ(n+4),整理可得λ≥,利用基本不等式即得结论.

易错点

本题易错点是忽略基本不等式的适用条件.

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