理科数学 2017年高三上学期期中考试

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

3．设向量满足,，则（）

正确答案

解析

(2)代入到(1)可得

故选B.

考查方向

主要考查平面向量的数量积和模.

解题思路

由可得，再由，而，代入可求答案.

易错点

对数量积的正确求解.

题型：单选题

分值: 5分

5．函数的图象大致为( )

正确答案

解析

由此即可判断函数为奇函数，即可排除A；又因为函数有无数个零点，即可排除C；当取一个较小的正数时，由此可排除B.

故选D.

考查方向

主要考查函数的图象与性质.

解题思路

对于函数比较复杂的题目，采用排除法进行解答,首先将函数的解析式化简得出函数为奇函数，由此判断A选项；由可知函数存在无数多个零点，且取一个较小的正数时，由此可排除B

易错点

注意函数解析式的准确化简和特殊性的选取.

题型：单选题

分值: 5分

7．已知函数的导函数的图像如右图所示，若角、角为钝角三角形的两个锐角，则一定成立的是（）

正确答案

解析

由函数的导函数图象可得，导函数在(0,1)上大于零，故函数在(0,1)上为增函数.再根据三角形为钝角三角形，

故选B.

考查方向

主要考查利用导数研究函数的单调性.

解题思路

根据导函数符号和函数的单调性的关系，可得函数在(0,1)上为增函数.再根据三角形为钝角三角形，得，从而得出答案.

易错点

注意函数的单调性准确求解.

题型：单选题

分值: 5分

8.已知向量的夹角为在时取得最小值.当时，夹角的取值范围是（）

正确答案

解析

由题意可得

由二次函数知，当上式取最小值时，由题意可得

故选C.

考查方向

主要考查平面向量的数量积的运算.

解题思路

由向量的运算可得由二次函数可得，解不等式可得的范围，可得夹角的范围.

易错点

准确的计算二次函数和三角函数.

题型：单选题

分值: 5分

1．集合,,则(　　)

正确答案

解析

则

故选A.

考查方向

主要考查集合的交集运算和不等式的解法.

解题思路

解绝对值不等式求出集合M，解二次不等式求出集合N，利用交集的定义求出即可.

易错点

不等式的准确求解和交集的正确运算.

题型：单选题

分值: 5分

2．下列结论正确的是( ）

A若向量∥，则存在唯一的实数使

B已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“”

C若命题，则

D“若，则 ”的否命题为“若，则”

正确答案

解析

A选项，若向量∥，则存在唯一的非零实数使，故A项错误；

B选项，当，的夹角为时，仍有，故B项错误；

C选项，若命题，则，故C选项错误；

D选项，否命题，否定条件及结论，故D选项正确.

故选D.

考查方向

主要考查命题的真假判断和充要条件.

解题思路

逐个选项的进行判断.

易错点

正确的判断命题之间的关系.

题型：单选题

分值: 5分

4．若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围

是( )

正确答案

解析

令函数在区间上单调递增，又外层函数为定义域内的增函数，需要内层函数在区间上单调递增，且其最小值大于0，即计算得出：

故选B.

考查方向

主要考查复合函数的单调性.

解题思路

由复合函数为增函数，且外层函数为增函数，则只需内层函数在区间上单调递增且其最小值大于0，由此不等式组求解的范围.

易错点

对数函数的真数必须大于0.

题型：单选题

分值: 5分

6.设，，则（）

A若，则

B若，则

C若，则

D若，则

正确答案

解析

令因为所以在上单调递增，又由则故知A项正确，B项错误.令

而在不单调，而大小不能确定，故C，D项均错误.

故选A.

考查方向

主要考查函数的构造和函数求导的应用.

解题思路

构造函数，根据函数的单调性即可求解.

易错点

准确的构造函数和准确的对函数求导.

题型：单选题

分值: 5分

10.已知，若函数，则的根的个数最多有（）

A1个

B2个

C3个

D4个

正确答案

解析

设则方程转化为即当时，此时当时，当时，由图象可知，当时，最多有两个解，其中当时，函数只有一解当时，函数最多有2个解，故的根的个数最多有3个.

故选C.

考查方向

主要考查根的存在性和根的个数判断，以及指数函数的图象和性质.

解题思路

设则方程转化为即然后根据函数的图象确定解的个数.

易错点

准确的利用换元法将方程转化，然后利用数形结合的方法确定根的个数.

题型：单选题

分值: 5分

9.函数与的图象关于直线对称，分别是函数图象上的动点，则的最小值为（　　）

正确答案

解析

函数和关于直线对称，函数到直线的距离的最小值的2倍，即是的最小值.直线的斜率，由即解得此时的切点坐标为过函数图象上点的切线平行于直线两条直线间距离就是函数图象到直线的最小距离，此时由函数图象的对称轴可知，的最小值为

故选D.

考查方向

主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程.

解题思路

根据和关于直线对称，则利用导数求出函数到直线的距离的最小值即可.

易错点

根据对称性准确的求出函数到直线的距离.

填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

11.函数的定义域是 .

正确答案

解析

要使函数有意义，则有

故函数的定义域为

故答案为

考查方向

主要考查函数定义域的求法要求熟练掌握常见函数成立的条件.

解题思路

根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域.

易错点

对对数概念的准确理解和不等式组的正确求解.

题型：填空题

分值: 5分

13．已知函数的图象关于直线对称，则在区间的单调递增区间为

正确答案

和

解析

函数的图象关于直线对称，由

在区间的单调递增区间为

故答案为

考查方向

主要考查三角函数中的恒等变换应用和正弦函数的图象.

解题思路

依据题意可知：，可求得利用辅助角公式可得，从而可求得函数的单调递增区间.

易错点

对正弦函数单调区间的正确求解.

题型：填空题

分值: 5分

15.以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，，。现有如下命题：

①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；

②函数的充要条件是有最大值和最小值；

③若函数，的定义域相同，且，，则；

④若函数（，）有最大值，则。

其中的真命题有。（写出所有真命题的序号）

正确答案

①③④

解析

①“”即函数值域为“，，”表示的是函数可以在中任意，故有：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；命题①是真命题；

②若函数即存在一个正数使得函数的值域包含于区间.例如：函数满足则有此时，无最大值，无最小值.命题②“函数的充要条件是有最大值和最小值.”是假命题；

③若函数，的定义域相同，且，，则值域为并且存在一个正数命题③是真命题.

④函数（，）有最大值，

假设

与题意不符；

假设

与题意不符；

即函数

当

当时，

即故命题④是真命题.

故选D.

考查方向

主要考查命题的真假判断与应用，涉及到基本不等式和新定义概念的运用.

解题思路

根据题中的新定义，结合函数值域的概念，从而得到本题的结论.

易错点

准确的理解新概念和极限思想的运用.

题型：填空题

分值: 5分

12.由曲线与围成的封闭图形的面积是________.

正确答案

解析

如图在同一平面直角坐标系内作出与的图象，则封闭图形的面积,

故答案为

考查方向

主要考查定积分在求面积中的应用.

解题思路

作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数与在区间[0,1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得.

易错点

注意积分的准确求解.

题型：填空题

分值: 5分

14.

正确答案

解析

故

故答案为

考查方向

主要考查三角恒等变换的灵活运用.

解题思路

利用两角和与差的公式、辅助角公式化简即可.

易错点

两角和与差的公式的正确运用.

简答题（综合题）本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

已知：，：．

16.若,且是充分不必要条件，求实数的取值范围；

17.若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：：，∵是的充分不必要条件，：∴是的真子集．．∴实数的取值范围为.

考查方向

主要考查一元二次不等式的解法，必要条件、充分条件与充要条件的判断.

解题思路

根据一元二次不等式的解法分别求出命题，由是的充分不必要条件，可知是的真子集，从而求出实数的取值范围.

易错点

对含参数一元二次不等式的准确求解和充分不必要条件的正确理解.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵“非”是“非”的充分不必要条件，∴是的充分不必要条件．

（1）当m>0时，由（1）．

（2）当m=0时，Q:x=1,符合

（3）当m<0时，-30

∴实数的取值范围为．

考查方向

主要考查含参数不等式的解法和必要条件、充分条件与充要条件的判断.

解题思路

根据条件将问题转化为是的充分不必要条件，根据含参数不等式的解法，分类讨论即可求出实数的取值范围.

易错点

对含参数不等式的正确求解和命题的等价转化.

题型：简答题

分值: 15分

设函数

23.当时，求函数的最大值；

24.令，（）其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；

25.当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

依题意，知的定义域为（0，+∞），当时，，

令=0，解得．（∵）因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减。

所以的极大值为，此即为最大值

考查方向

主要考查利用导数研究函数的极值和最值.

解题思路

函数的定义域是（0，+∞），把代入函数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可.

易错点

求导函数和对导函数的准确计算.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，，则有≤，在上恒成立，

所以≥，当时，取得最大值，所以≥

考查方向

主要考查函数的求导和不等式恒成立问题.

解题思路

问题转化为函数的导数在小于或者等于恒成立，分离参数后转化为函数的最值即可求解.

易错点

问题的等价转化和准确的运算.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，

设，则．令，．

因为，，所以（舍去），，

当时，，在（0，）上单调递减，

当时，，在（，+∞）单调递增

当时，=0，取最小值．

则既

所以，因为，所以（*）

设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解．因为，所以方程（*）的解为，即，解得

考查方向

主要考查利用导数研究函数的单调性和极值问题.

解题思路

研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程有唯一实数解，得到所满足的方程，解方程求解即可.

易错点

问题的等价转化和对函数求导的正确运算.

题型：简答题

分值: 12分

18.

19.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

处取得最值，

考查方向

主要考查三角函数图象的最值和周期问题.

解题思路

根据正弦函数的图象的性质求出参数的值，再利用正弦函数的周期性即可求出函数的周期.

易错点

注意的正确求解.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

得到

再将图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到

故解得因为为锐角，所以故

考查方向

主要考查三角函数图象的变换和同角三角函数基本关系.

解题思路

根据三角函数图象的变化规律，得到所求函数的解析式，结合已知条件，求出角的正弦值，再利用角的范围和同角三角函数基本关系即可求解.

易错点

准确把握三角函数的图象变换，熟练的运用同角三角函数基本关系.

题型：简答题

分值: 12分

已知函数，，其中，若函数相邻两对称轴的距离大于等于.

20.求的取值范围；

21.在锐角中，分别是角A,B,C的对边，当最大时，，且，求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

考查方向

主要考查平面向量的数量积和三角恒等变换，以及正弦函数的最小正周期问题.

解题思路

根据二倍角公式和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合相邻两对称轴的距离大于等于可得的最小正周期，求出的取值范围.

易错点

注意平面向量数量积和三角恒等变换的准确运用，要求熟记公式.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

当最大时，即，此时

由正弦定理得

在锐角三角形中,即得

的取值范围为

考查方向

主要考查正弦定理和三角函数的图象和性质的运用.

解题思路

由正弦定理可得再由的关系，求得的范围，结合两角和的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围.

易错点

注意对角范围的正确求解.

题型：简答题

分值: 12分

22.设函数（，且）的定义域为，值域为，求的取值范围。

正确答案

解析

令，则上单调递增，在上单调递减，有两个大于3的相异的根，即有两个大于3的相异的根，令则有

考查方向

主要考查根的存在性定理及根的个数的判断，以及对数函数的图象和性质.

解题思路

分析出函数的单调性，进而判断出底数的取值范围，进而根据函数的定义域为值域构造出方程组，将其转化为整式方程组后，构造函数，利用二次函数的图象和性质可得出结果.

易错点

根据复合函数的单调性准确将问题转化为求方程的根的个数.

题型：简答题

分值: 12分

已知函数

26.若，求函数的单调区间；

27.讨论在区间上的极值点的个数；

28.是否存在，使得在区间上与轴相切？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

的单调增区间为，的单调减区间为

解析

（1），的定义域为

令，则；令，则

所以的单调增区间为，的单调减区间为

考查方向

主要考查利用导数研究函数的单调性.

解题思路

若求函数的导数，利用导数求的单调区间.

易错点

对函数的准确求导和对导函数正负值的判断.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

当或时，在区间上无零点，无极值点；

当时，在区间上有唯一零点，有唯一极值点.

解析

，令

则又令所以

当单调递减；当单调递增.

故所以在区间单调递增

注意到：当时，，故在区间的零点个数由

的符号决定.

①，即：或时，在区间上无零点，无极值点；

②，即：时，在区间上有唯一零点，有唯一极值点.

考查方向

主要考查利用导数研究函数的极值问题.

解题思路

利用导数分别讨论的取值，进而讨论函数上的极值点个数.

易错点

注意对参数的准确分类和每一步的正确求解.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

存在，使得在区间上与轴相切.

解析

（3）假设存在，使得在区间上与轴相切，则必与轴相切于极值点，由（2）可知，设极值点为

则 ①

②

联立得代入上式得

令，则，令

，

在上单调递减，上存在唯一零点

即当时，，单调递增；当时，，单调递减

又，所以在上无零点，在上有唯一零点.

所以存在，使得在区间上与轴相切.

考查方向

主要考查导数与极值之间的关系.

解题思路

假设存在，使得上与轴相切，则必与轴相切于极值点处，利用导数与极值之间的关系进行讨论.

易错点

熟练掌握导数与极值之间的关系，准确的运算.

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正确答案

解析

考查方向

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易错点

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