理科数学杭州市2012年高三试卷

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单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

1.已知是实数集，，则（）

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2.设为等比数列的前项和，,则（）

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6.若等边的边长为，平面内一点满足，则（）

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10.在等差数列中，表示其前n项和，若，则的符号是（）

A正

B负

C非负

D非正

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3.已知函数，若存在，使得恒成立，则的值是（）

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4.下列四个条件中，是的必要不充分条件的是（）

C为双曲线，

D，

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9.从正方体的棱和各个面的面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值是（）

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7.在平面直角坐标系中，有两个区域，是由三个不等式确定的；是随变化的区域，它由不等式所确定．设的公共部分的面积为，则等于（）

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5.已知函数的导函数为，且满足，则（）

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8.已知椭圆：和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为. 若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（）

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填空题本大题共7小题，每小题4分，共28分。把答案填写在题中横线上。

11.复数（是虚数单位）的虚部是（）

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12.在总体中抽取了一个样本，为了便于计算，将样本中的每个数据除以后进行分析，得出新样本的方差为，则估计总体的标准差为（）

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14.定义：的运算原理如图所示，设，则在区间上的最小值为（）。

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15.将个相同的和个相同的共个字母填在的方格内，每个小方格内至多填个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有（）种（用数字作答）

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13.已知为直线，为平面．在下列四个命题中，

① 若，则；

② 若，则；

③ 若，则；

④ 若，则．

正确命题的个数是（）

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17.若时,不等式恒成立,则的取值范围是（）．

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16.已知和是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为，动点分别在和上，且，则过三点的动圆扫过的区域的面积为（）．

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简答题（综合题）本大题共72分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19.四枚不同的金属纪念币，投掷时，两枚正面向上的概率均为，另两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为（）.将这四枚纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的枚数.

（1）求ξ的分布列（用表示）；

（2）若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大，求的取值范围。

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21.如图，椭圆的左、右焦点分别为，已知点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点，

（I）若，求直线的斜率；

（II）求证：是定值。

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20.已知，如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在线段上，且，，，是的中点，四面体的体积为．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）若点是棱上一点，且，求的值。

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18.已知，且.设函数

（1）求函数的解析式；

（2）若在锐角中，，边，求周长的最大值．

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22.设函数

（1）若与在为同一个值时都取得极值，求的值.

（2）对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，恒有

求①的表达式；②的最大值及相应的值.

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