2015年高考真题 理科数学 (福建卷)
精品
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单选题 本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 (      )

A

B

C

D2

正确答案

A

解析

画出可行域,如图所示,目标函数变形为,当最小时,直线的纵截距最大,故将直线经过可行域,尽可能向上移到过点时,取到最小值,最小值为,故选A.

考查方向

线性规划.

解题思路

由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得到答案。

易错点

可行域作图错误,目标函数平移出错

知识点

指数函数的图像变换
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.若双曲线 的左、右焦点分别为,点在双曲线上,且,则 等于( )

A11

B9

C5

D3

正确答案

B

解析

由双曲线定义得,即,解得,故选B.

考查方向

双曲线的标准方程和定义.

解题思路

确定P在双曲线的左支上,由双曲线的定义可得结论。

易错点

计算能力弱,双曲线焦点坐标不会求

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为(     )

A2

B1

C0

D

正确答案

C

解析

程序在执行过程中的值依次为:,程序结束,输出,故选C.

考查方向

程序框图.

解题思路

模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的I,S值,找到循环结束条件,得到输出的S的值。

易错点

循环条件判断错误,判断循环结束条件时错误

知识点

循环结构
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.若 是函数 的两个不同的零点,且 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 的值等于(     )

A6

B7

C8

D9

正确答案

D

解析

由韦达定理得,则,当适当排序后成等比数列时,必为等比中项,故.当适当排序后成等差数列时,必不是等差中项,当是等差中项时,,解得;当是等差中项时,,解得,综上所述,,所以,选D.

考查方向

等差中项和等比中项.

解题思路

由根与系数的关系得到公差和公比的值,适当的排列后进行筛选,最后得到答案。

易错点

等差数列和等比数列性质运用不得当,联想不到运用根与系数的关系求解。

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.已知 ,若 点是 所在平面内一点,且 ,则 的最大值等于(     )

A13

B15

C19

D21

正确答案

A

解析

为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则,即,所以,因此

,因为,所以 的最大值等于,当,即时取等号.

考查方向

1、平面向量数量积;2、基本不等式.

解题思路

建系,由向量的几何意义得到P的坐标,然后利用基本不等式求得。

易错点

计算能力弱,数量积转换坐标时错误

知识点

向量的减法及其几何意义
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.若集合 ( 是虚数单位), ,则 等于 (     )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由已知得,故,故选C.

考查方向

1、复数的概念;2、集合的运算.

解题思路

利用虚数单位i的运算性质化简A,然后利用交集运算得到答案。

易错点

虚数单位i及其性质掌握不好,交集运算错误

知识点

补集及其运算
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.下列函数为奇函数的是(     )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

函数是非奇非偶函数;是偶函数;是奇函数,故选D.

考查方向

函数的奇偶性.

解题思路

根据函数奇偶性的定义进行判断即可

易错点

函数奇偶性的性质掌握不好,错把偶函数当奇函数

知识点

奇函数
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:

根据上表可得回归直线方程 ,其中 ,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为(     )

A11.4万元

B11.8万元

C12.0万元

D12.2万元

正确答案

B

解析

由已知得(万元),(万元),故,所以回归直线方程为,当社区一户收入为15万元家庭年支出为(万元),故选B.

考查方向

线性回归方程.

解题思路

由题意可知X平均和y平均,可得回归方长,把X=15代入方程求得y值即可。

易错点

线性回归方程列错,计算能力弱

知识点

分布的意义和作用
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.若 是两条不同的直线, 垂直于平面 ,则“ ”是“ 的 (      )

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

,因为垂直于平面,则;若,又垂直于平面,则,所以“ ”是“ 的必要不充分条件,故选B.

考查方向

空间直线和平面、直线和直线的位置关系.

解题思路

利用直线与平面平行于垂直的关系,结合充分条件和必要条件性质,判断关系。

易错点

逻辑混乱,直线与平面的位置关系掌握不牢

知识点

充要条件的应用平面与平面平行的判定与性质直线、平面垂直的综合应用
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.若定义在上的函数 满足 ,其导函数 满足 ,则下列结论中一定错误的是(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由已知条件,构造函数,则,故函数上单调递增,且,故,所以,所以结论中一定错误的是C,选项D无法判断;构造函数,则,所以函数上单调递增,且,所以,即,选项A,B无法判断,故选C.

考查方向

函数与导数.

解题思路

根据导数的概念求出K的取值范围,然后代入不等式中,可以判断出答案。

易错点

函数和导数的综合性质掌握不全面,不理解导数的定义式,不会构造函数

知识点

简单复合函数的导数
填空题 本大题共5小题,每小题4分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 4分

11. 的展开式中,的系数等于              .(用数字作答)

正确答案

解析

 的展开式中项为,所以的系数等于

考查方向

二项式定理.

解题思路

先求出二项式展开式的通项公式,再令X的次数等于2,求得r的值,即可得到展开式中的系数。

易错点

二项式展开错误,计算能力弱

知识点

排列、组合的实际应用
1
题型:填空题
|
分值: 4分

13.如图,点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,函数 ,若在矩形 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于           

正确答案

解析

由已知得阴影部分面积为.所以此点取自阴影部分的概率等于

考查方向

几何概型.

解题思路

分别求出矩形和阴影部分的面积,利用几何概型公式,解答。

易错点

不会运用导数和积分求不规则图形的面积

知识点

利用定积分求曲边梯形的面积与面积、体积有关的几何概型
1
题型:填空题
|
分值: 4分

12.若锐角的面积为 ,且 ,则 等于________

正确答案

解析

由已知得的面积为,所以,所以.由余弦定理得

考查方向

1、三角形面积公式;2、余弦定理.

解题思路

利用三角形的面积公式求出A,再利用余弦定理求出BC.

易错点

计算能力弱,不会用余弦定理求三角形的面积

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算
1
题型:填空题
|
分值: 4分

15.一个二元码是由0和1组成的数字串 ,其中 称为第 位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0)

已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组:

其中运算 定义为: .

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定 等于          

正确答案

解析

由题意得相同数字经过运算后为,不同数字运算后为.由可判断后个数字出错;由可判断后个数字没错,即出错的是第个或第个;由可判断出错的是第个,综上,第位发生码元错误.

考查方向

推理证明和新定义.

解题思路

根据二元码的码元满足的方程组,及运算规则,将k的值从1至7逐个验证即可。

易错点

新定义运算的阅读能力,阅读分析理解能力弱

知识点

随机事件的关系
1
题型:填空题
|
分值: 4分

14.若函数 ( 且 )的值域是 ,则实数 的取值范围是              

正确答案

解析

,故,要使得函数的值域为,只需)的值域包含于,故,所以,所以,解得,所以实数的取值范围是

考查方向

分段函数求值域.

解题思路

分段函数是一个函数,其值域是各段函数值取值范围的并集,进而求出a的取值范围。

易错点

分段函数的分类讨论思想运用不好。

知识点

对数函数的图像与性质
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 13分

如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.

18.求证:平面 ;

19.求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)详见解析

解析

(Ⅰ)如图,取的中点,连接,又G是BE的中点,

又F是CD中点,,由四边形ABCD是矩形得,,所以.从而四边形是平行四边形,所以,,又,所以

考查方向

1、直线和平面平行的判断;2、面面平行的判断和性质;3、二面角.

解题思路

通过证明平面GMF和平面ADE平行来证明结论

易错点

计算能力弱,空间立体感不强

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)

解析

(Ⅱ)如图,在平面BEC内,过点B作,因为

又因为AB平面BEC,所以ABBE,ABBQ

以B为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因为AB平面BEC,所以为平面BEC的法向量,

为平面AEF的法向量.又

.

从而

所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为

考查方向

1、直线和平面平行的判断;2、面面平行的判断和性质;3、二面角.

解题思路

建立空间直角坐标系,可得到平面BEC和平面AEF的法向量,由向量夹角的余弦值可得。

易错点

计算能力弱;空间立体感不强

1
题型:简答题
|
分值: 13分

已知椭圆E:过点,且离心率为

20.求椭圆E的方程;

21.设直线交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)

解析

(Ⅰ)由已知得

解得

所以椭圆E的方程为

考查方向

1、椭圆的标准方程;2、直线和椭圆的位置关系;3、点和圆的位置关系.

解题思路

根据题意找到等量关系,建立关于参数的三元方程组,求得a b c的值

易错点

椭圆的性质掌握不好,计算能力弱

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ) G在以AB为直径的圆外.

解析

(Ⅱ)设点AB中点为

所以从而.

所以.

,

所以,故G在以AB为直径的圆外.

考查方向

1、椭圆的标准方程;2、直线和椭圆的位置关系;3、点和圆的位置关系.

解题思路

根据条件设出参数,然后根据参数间的等量关系建立方程,求解方程,进而达到参数的值,然后判断点和圆的位置关系。

易错点

计算能力弱,直线和圆锥曲线的综合求解能力弱

1
题型:简答题
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分值: 13分

已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到:先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移个单位长度.

22.求函数的解析式,并求其图像的对称轴方程;

23.已知关于的方程内有两个不同的解

(1)求实数m的取值范围;

(2)证明:

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)

解析

(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到的图像,再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像,故,从而函数图像的对称轴方程为

考查方向

1、三角函数图像变换和性质;2、辅助角公式和诱导公式.

解题思路

有函数的图象变化规律可得到函数的本来面貌,从而求得对称轴方程。

易错点

三角函数变换过程中参数的变换掌握不好,计算能力弱

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)(1);(2)详见解析.

解析

(2)1)

(其中

依题意,在区间内有两个不同的解当且仅当,故m的取值范围是.

2)因为是方程在区间内有两个不同的解,

所以.

时,

时,

所以

考查方向

1、三角函数图像变换和性质;2、辅助角公式和诱导公式.

解题思路

结合函数图象,化简三角函数,然后建立不等关系,求出M的取值范围

易错点

计算能力弱,三角函数的图象变换和性质掌握不好,不会利用辅助角公式和诱导公式。

1
题型:简答题
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分值: 13分

某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.

16.求当天小王的该银行卡被锁定的概率;

17.设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)

解析

(Ⅰ)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,

考查方向

1、古典概型;2、离散型随机变量的分布列和期望.

解题思路

根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率

易错点

分析问题能力弱,求概率时计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ);(Ⅱ)分布列见解析,期望为

解析

(Ⅰ)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,

(Ⅱ)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3

所以X的分布列为

所以

考查方向

1、古典概型;2、离散型随机变量的分布列和期望.

解题思路

随机变量X的取值为:1,2,3,分别求出对应的概率,即可求出分布列和期望。

易错点

分布列列错,考虑情况不全面,或多或少。

1
题型:简答题
|
分值: 14分

已知函数

24.证明:当

25.证明:当时,存在,使得对

26.确定k的所以可能取值,使得存在,对任意的恒有

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)详见解析

解析

解法一:(1)令则有

 ,所以上单调递减;

故当时,即当时,

考查方向

导数的综合应用.

解题思路

求导,然后分类讨论求单调性

易错点

导数和函数的关系掌握不牢,不会利用导数判断函数的单调性

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)详见解析

解析

(2)令

则有

 ,所以上单调递增,

故对任意正实数均满足题意.

时,令

对任意恒有,所以上单调递增, ,即.

综上,当时,总存在,使得对任意的恒有

考查方向

导数的综合应用.

解题思路

先构造函数,然后求导判断单调区间,利用函数的单调性证明不等式。

易错点

不会构造函数,不会建立函数与导数之间的联系

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅲ)

解析

(3)当时,由(1)知,对于

则有

故当时,

,上单调递增,故,即,所以满足题意的t不存在.

时,由(2)知存在,使得对任意的任意的恒有

此时,

则有

故当时,

,上单调递增,

,即,记中较小的为

则当,故满足题意的t不存在.

,由(1)知,

,则有

时,,所以上单调递减,故,

故当时,恒有,此时,任意实数t满足题意.

综上,.

考查方向

导数的综合应用.

解题思路

分K大于1.K小于1和K等于1把不等式的左边去掉绝对值,然后再进行分类讨论,可得答案。

易错点

计算能力弱,求导分类讨论或重或漏

1
题型:简答题
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分值: 14分

本题设有三个选考题,请考生任选2题作答.

【选修4-2:矩阵与变换】请回答27、28题。

已知矩阵

【选修4-4:坐标系与参数方程】请回答29、30题。

在平面直角坐标系中,圆C的参数方程为.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位,且以原点O为极点,以轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为

【选修4-5:不等式选讲】请回答31、32题。

已知,函数的最小值为4.

27.求A的逆矩阵

28.求矩阵C,使得AC=B.

29.求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;

30.设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.

31.求的值;

32.求的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)

解析

(1)因为

所以

考查方向

矩阵和逆矩阵.

解题思路

求出矩阵的行列式,即可求A的逆矩阵

易错点

矩阵计算公式记忆混淆,计算能力弱。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)

解析

(2)由AC=B得,

考查方向

矩阵和逆矩阵.

解题思路

由AC=B,即可求得矩阵C

易错点

矩阵的定义式、矩阵的乘法的运算掌握不好

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)

(Ⅱ)

解析

(Ⅰ)消去参数t,得到圆的普通方程为,

,得,

所以直线l的直角坐标方程为.

(Ⅱ)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即

解得

考查方向

1、参数方程和普通方程的互化;2、极坐标方程和直角坐标方程的互化;3、点到直线距离公式.

解题思路

直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可

直接利用点到直线的距离公式求解即可

易错点

直角坐标和极坐标的相互转化

点到直线的距离公式记忆混淆

第(4)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅱ)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即

考查方向

1、参数方程和普通方程的互化;2、极坐标方程和直角坐标方程的互化;3、点到直线距离公式.

解题思路

直接利用点到直线的距离公式求解即可

易错点

点到直线的距离公式记忆混淆

第(5)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)

解析

(Ⅰ)因为,当且仅当时,等号成立,又,所以,所以的最小值为,

所以

考查方向

1、绝对值三角不等式;2、柯西不等式.

解题思路

运用绝对值不等式的性质,注意等号成立的条件,即可求得最小值

易错点

不等式的常见解法掌握不好,计算分析能力弱

第(6)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)

解析

(Ⅱ)由(1)知,由柯西不等式得

,

.

当且仅当,即时,等号成立

所以的最小值为.

考查方向

1、绝对值三角不等式;2、柯西不等式.

解题思路

运用柯西不等式,注意等号成立的条件,即可得到最小值。

易错点

一般形式的柯西不等式,运用公式时忽略等号成立的条件

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