• 理科数学 黄浦区2012年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题4分,共56分。把答案填写在题中横线上。
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1.已知复数满足是虚数单位),则(    )

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4.若二项式展开式的常数项为,则(    )

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5.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为的半圆,则此圆锥的体积为(    )

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6.某学院的三个专业共有名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本。已知该学院的专业有380名学生,专业有名学生,则在该学院的专业应抽取(    )名学生

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7.已知函数的反函数为。若在上的最大值和最小值互为相反数,则的值为(    )

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8.数列满足:对于任意的。若,则(    )

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9.若函数的图像与轴交于点,过点的直线与函数的图像交于另外两点是坐标原点,则(    )

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3.若全集,集合,则(    )

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10.袋中装有同样大小的个小球,其中有个白球,个红球。从中任取个球,取到白球得1分,取到红球得5分。记随机变量为一次取得的两球的分数之和,则(    )

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12.在极坐标系中,是极点,点的极坐标为,则称为向量的方向角,方向相同的两平行向量的方向角相同。已知,则向量的方向角等于(    )

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11.若双曲线上存在四个不同的点,使四边形为菱形,则的取值范围为(    )

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13.定义在上的偶函数对于任意的,且当时,。若函数上只有四个零点,则实数的值为(    )

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14.某公园草坪上有一扇形小径(如图),扇形半径为,中心角为。甲由扇形中心出发沿以每秒米的速度向快走,同时乙从出发,沿扇形弧以每秒米的速度向慢跑。记秒时甲.乙两人所在位置分别为,通过计算判断下列说法是否正确。

(1)当时,函数取最小值;

(2)函数在区间上是增函数;

(3)若最小,则; 

(4)上至少有两个零点。

其中正确的判断序号是(    )(把你认为正确的判断序号都填上)。

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2.不等式的解为(    );

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单选题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

15.“”是“关于的实系数方程没有实数根”的(           )

A必要不充分条件

B充分不必要条件

C充分必要条件

D既不充分又不必要条件

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17.设分别是椭圆的左、右焦点,过的直线相交于两点,且成等差数列,则的长为(       )

A

B

C

D

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16.设是平面,是三条不同的直线,则下列命题中正确的是(      )

A

B

C,则; 

D

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18.是定义在上周期为的周期函数,当时,。直线与函数的图像在轴右边交点的横坐标从小到大组成数列。则(     )

A对于恒成立

B对于恒成立

C对于恒成立

D的大小关系不确定

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简答题(综合题) 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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21.如图:是棱长为的正方体,为面对角线上的动点(不包括端点),平面于点

(1)设,将长表示为的函数,并求此函数的值域;

(2)当最小时,求异面直线所成角的大小。

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22.抛物线的焦点为圆的圆心。

(1)求抛物线的方程与其准线方程;

(2)直线与圆相切,交抛物线于两点:

①若线段中点的纵坐标为,求直线的方程;

②求的取值范围。

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1

20.已知函数

(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;

(2)当时,上恒成立,求的取值范围。

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23.若数列的每一项都不等于零,且对于任意的,都有为常数),则称数列为“类等比数列”。已知数列满足:,对于任意的,都有

(1)求证:数列是“类等比数列”;

(2)若是单调递增数列,求实数的取值范围;

(3)设数列的前项和为,试探讨是否存在,说明理由。

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19.已知函数

(1)求函数的最小正周期与单调递增区间;

(2)在△中,若,求角的值。

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