理科数学 热门试卷

（I）因为A点的坐标为，根据三角函数定义可知，

，得，

＝

（Ⅱ）因为， 所以==

所以由余弦定理得

=

 ，

，即，

由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为：

甲：82  81  79  88  80       乙：85  77  83  80  85

（Ⅰ）派乙参赛比较合适，

理由如下：

甲的平均分，乙的平均分，甲乙平均分相同；

又甲的标准差的平方（即方差），乙的方差，；

甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，派乙去比较合适；

（Ⅱ）记乙同学在一次数学竞赛中成绩高于80分为事件，有，

可能取值为：0，1，2，3，

其分布列为：

．

或直接使用下法：

服从二项分布，故．

【注】本题第（Ⅰ）小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分．如还可有如下解释：

法2 从统计学的角度看，甲获得分以上（含85分）的概率，乙获得分以上（含85分）的概率，甲的平均分，乙的平均分，平均分相同；

派乙去比较合适．

法3  若从学生得分以上（含82分）去分析：甲获得分以上（含82分）的概率，

乙获得分以上（含82分）的概率，甲的平均分，

乙的平均分，平均分相同；派乙去比较合适．

（Ⅰ）当时，

当，

所以，

由得：

所以，是以为首项，2为公比的等比数列．

所以， ，所以，

（Ⅱ）证明：当时，

当时，

故

综上，成立．

解法一：

（Ⅰ）因为底面，又，所以；

因为是正方形，所以，又，所以．

在中，因为，E为PA的中点，所以，

由根据三垂线定理可得知：

（Ⅱ）设交于点，因为，，所以平面．

作，连结，则，

所以是二面角的平面角

由已知得， 所以，

所以，所以，

所以二面角的大小为．

（Ⅲ）当是中点时，有平面．

证明：取的中点连结、，则，

所以，故平面即平面．

所以，所以，

又平面，

．

解法二：以D为原点，以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

（Ⅰ），，

所以

所以，即

（Ⅱ），，

，设平面的一个法向量为，则

  取．

设平面的一个法向量为，则

   取．

所以，所以二面角的大小为．

（Ⅲ）令 则

由已知，，要使平面，只须，

即则有，得，

所以 当是中点时，有平面．

（Ⅰ） 由题意知：，

解得

∴ 椭圆的方程为

（Ⅱ）假设存在椭圆上的一点，使得直线

与以为圆心的圆相切，则到直线的距离相等，

： 

： 

化简整理得：

∵ 点在椭圆上，∴

解得： 或 （舍）

时，，，

∴ 椭圆上存在点，其坐标为或，使得直线

与以为圆心的圆相切。