理科数学 热门试卷

解：（1）抽取数学小组的人数为2人；英语小组的人数为1人；

（2）=；

（3）

的分布列为：

．

解：（1）设，依题意，

则点的坐标为

∴

又    ∴ 

∵ 在⊙上，故  ∴ 

∴ 点的轨迹方程为

（2）假设椭圆上存在两个不重合的两点满足

，则是线段MN的中点，

且有

又 在椭圆上

∴     两式相减，

得

∴           

 ∴  直线MN的方程为

∴  椭圆上存在点．满足，此时直线的方程为

解法一   向量法

由已知，AD．DE．DG两两垂直，建立如图的坐标系，

则A（0，0，2），

B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），

G（0，2，0），F（2，1，0）

（Ⅰ），

∴，所以BF∥CG．又BF平面ACGD，

故 BF//平面ACGD

（Ⅱ），设平面BCGF的法向量为，

则，令，则，

而平面ADGC的法向量

∴＝

故二面角D-CG-F的余弦值为

（Ⅲ）设DG的中点为M，连接AM．FM，

则＝

＝＝＝．

解法二 （Ⅰ）设DG的中点为M，连接AM、FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，

所以MF//DE，且MF＝DE又∵AB//DE，且AB＝DE

∴MF//AB，且MF＝AB

∴四边形ABMF是平行四边形，即BF//AM，

又BF平面ACGD                             故 BF//平面ACGD

（Ⅱ）由已知AD⊥面DEFG∴DE⊥AD ，DE⊥DG即DE⊥面ADGC ，

∵MF//DE，且MF＝DE ，  ∴MF⊥面ADGC

在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则

显然∠MNF是所求二面角的平面角．

∵在四边形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM＝MG＝1

       ∴， ∴MN＝

在直角三角形MNF中，MF＝2，MN

∴＝＝＝，＝

故二面角D-CG-F的余弦值为

（Ⅲ）＝＝

＝＝．

（1）由导数的几何意义=12

∴

∴   ∴

（2）∵ ，

∴

由  得，

∵ ［-1，1］，

∴ 当［-1，0］时，，递增；当（0，1）时，

，递减。

∴ 在区间［-1，1］上的最大值为

∵ ，∴ =1

∵ ，

∴

∴ 是函数的最小值，

∴   ∴    ∴ =