理科数学 热门试卷

【解答】解：（1）∵OA=OB，CA=CB，∴△ACO≌△BCO．

∴，

∴∠BCO=θ=300． （4分）

（2）在△BOC中，∠OBC=60°﹣θ，

由正弦定理有：，∴，（6分）

又；，

∴=3sin（600﹣θ）（sinθ﹣+）

=9（）（）

=9（）=，θ∈（0，600）（10分）

故当2θ=900，即θ=450时S（θ）取得最大值．（12分）

【解答】解：=

=．

（1）由f（x）=0，得，

∴，

∴，或，k∈Z．

又∵，

∴x=或0或；

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，

可得函数图象的解析式为y==2cos2x+1，

再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）=2cosx+1，

又曲线y=h（x）与y=g（x）的图象关于直线对称，

∴=2sinx+1，

∵x∈，∴sinx∈．

故函数h（x）的值域为（0，3]．

【解答】（1）证明：当n=1时，a1+1=2a1，∴a1=1．

∵Sn+n=2an，n∈N*，

∴当n≥2时，Sn﹣1+n﹣1=2an﹣1，

两式相减得：an+1=2an﹣2an﹣1，即an=2an﹣1+1，

∴an+1=2（an﹣1+1），

∴数列{an+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，

∴，

则，n∈N*；

（2）解：∵，

∴，

∴，

两式相减得：，

∴，

由，得，

设，

∵＞0，

∴数列{cn}为递增数列，

∵，，

∴满足不等式的n的最小值为11．

【解答】解：（1）由，x∈[0，24]，

得，

令t′（x）≥0，得（x+2）（x﹣2）≤0，即0≤x≤2，

令t′（x）＜0，得（x+2）（x﹣2）＞0，即x＞2，

∴t（x）在[0，2]上递增，在（2，+∞）上递减，

∴当x=0时，t（x）min=0；当x=2时，；

（2）由（1），

令g（t）=f（x）=t•|t﹣a|+，t∈[0，]，

则g（t）=，

∵g（t）在和上递增，在上递减，

且，g（）=，

，

令，解得；

令，解得0，

∴，

∵fmax（x）≤1，

∴目前市中心的综合污染指数没有超标．

【解答】解：（1）m=1时，f（x）=ex﹣1﹣xlnx，f′（x）=ex﹣1﹣lnx﹣1

令G（x）=ex﹣1﹣x，则G′（x）=ex﹣1﹣1，当x＞1时，G′（x）＞0

当x＜1时，G′（x）＜0，故G（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

所以G（x）≥G（1）=0，即ex﹣1≥x（当且仅当x=1时取等号）．

令j（x）=x﹣1﹣lnx（x＞0），则j′（x）=，当0＜x＜1时，j′（x）＜0，

当x＞1时，j′（x）＞0，故j（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

所以j（x）≥j（1）=0，即x≥lnx+1（当且仅当x=1时取等号）．

当 f′（x）=ex﹣1﹣lnx﹣1≥x﹣（lnx+1）≥0（当且仅当x=1时取等号）

所以，∀x∈（0，+∞），f′（x）≥0；（4分）

（2）f（x）有两个极值点，即f′（x）=ex﹣m﹣lnx﹣m有两个变号零点．

①当m≤1时，f′（x）=ex﹣m﹣lnx﹣m≥ex﹣1﹣lnx﹣1，由（1）知f′（x）≥0，

则f（x）在（0，+∞）上是增函数，无极值点； （6分）

②当m＞1时，令g（x）=f′（x），则，

∵g′（1）=e1﹣m﹣1＜0＞0，且g′（x）在（0，+∞）上单增，

∴∃x0∈（1，m），使g′（x0）=0．

当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0．

所以，g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．

则g（x）在x=x0处取得极小值，也即最小值g（x0）=．（8分）

由g′（x0）=0得m=x0+lnx0，则g（x0）=（9分）

令h（x）=（1＜x＜m）则，h（x）在（1，m）上单调递减，

所以h（x）＜h（1）=0．即g（x0）＜0，（10分）

又x→0时，g（x）→+∞，x→+∞时，g（x）→+∞，故g（x）在（0，+∞）上有

两个变号零点，从而f（x）有两个极值点．所以，m＞1满足题意．（11分）

综上所述，f（x）有两个极值点时，m的取值范围是（1，+∞）．（12分）（其他解法酌情给分）

【解答】解：（1）由f（x）≤3，得|x﹣a|≤3，

∴a﹣3≤x≤a+3，

又f（x）≤3的解集为[﹣6，0]，

解得：a=﹣3； （5分）

（2）∵f（x）+f（x+5）=|x+3|+|x+8|≥5．

又f（x）+f（x+5）≥2m对一切实数x恒成立，

∴2m≤5，

m≤（10分）