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理科数学 荆门市2017年高三第一次质检考试
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、填空题
13
14
15
16
3、简答题
17
18
19
20
21
22
23
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单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.已知集合，则(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

，所以  [来源:学&科&网Z&X&X&K]

考查方向

本题主要考查了集合交集运算.

解题思路

分别解出A，B，即可求交集.

易错点

一元二次不等式的解集.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

函数，， 在区间上为减函数，故A、B、C错误.

考查方向

本题主要考查了函数的单调性与奇偶性.

解题思路

先判断函数的单调性，即可.

易错点

函数的单调性与奇偶性.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3. 若，则(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

.

考查方向

三角函数的恒等变换，以及诱导公式与二倍角公式.

解题思路

根据角的变换，得到，再利用诱导公式与同角三角函数的关系式，解得即可.

易错点

三角函数的恒等变换.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

因为函数在区间上单调递减，

所以在上恒成立，所以，当且仅当x=3时，，所以.

考查方向

本题主要考查了导数在函数单调性中应用.

解题思路

求出导数，即在上恒成立，分离系数法得到解得即可.

易错点

在上恒成立.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数图象关于轴对称，则的最小值为(    )

A

B．

C

D

正确答案

C

解析

将函数的图象向右平移个单位长度，

可得的图象，根据所得函数的图象关于轴对称，可得，即．又 ，所以则的最小值为.

考查方向

1.函数的图象变换；2.三角函数中的恒等变换应用．

解题思路

根据平移得到y,再由所得函数的图象关于轴对称，可得，即可解得.

易错点

偶函数的性质.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8. 已知函数，且在上的最大值为，则实数的值为(    )

A

B1

C

D2

正确答案

B

解析

因为，当时，，

当a=0时，不合题意；当a<0时，,

所以函数在上递减，不合题意；

当a>0时，，所以函数在上递增，，解得a=1.

考查方向

本题主要考查了导数在函数单调性中应用．

解题思路

求出导数，分析参数a的变化，对导数单调性的影响，即可得，解得即可.

易错点

分析参数a的变化，对导数单调性的影响.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9. 已知中，，则的最大值是(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

所以；由于．

又，当且仅当时，等号成立．即的最小值为． 故 的最大值为，故的最大值为．故选：A．

考查方向

1.两角和与差的正弦函数；2.正弦定理的应用；3.余弦定理．

解题思路

由，结合正弦定理和余弦定理可得．由于，只要求出的最小值，就可求得的最大值，由余弦定理结合基本不等式可得的最小值，进而可得答案.

易错点

余弦定理结合基本不等式.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10. 已知函数，用表示中最小值，设，则函数的零点个数为(    )

A1

B2

C3

D4

正确答案

C

解析

作出函数和的图象如图，两个图象的下面部分图象，由，得，或，由，得或，

∵，∴当时，函数的零点个数为个，故选：C．学科网

考查方向

本题主要考查了根的存在性及根的个数判断．

解题思路

根据所给条件画出函数图象，判断零点个数即可.

易错点

不理解的含义出错.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4. 已知等比数列的前项和为，且依次成等差数列，若，则(    )

A16

B31

C32

D63

正确答案

B

解析

因为依次成等差数列，所以，又，解得，

所以.

考查方向

本题主要考查了等差数列、等比数列的性质.

解题思路

根据题目条件，得到，解得，即可求和.

易错点

等差数列、等比数列的性质.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5. 设，若，，则的大小关系为(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

令 ，所以当时， ，所以所以函数在区间上单调递增，又，所以，

所以.

考查方向

本题主要考查了函数的单调性.

解题思路

构造函数，判断函数在（0,1）上的单调性，

然后比较的大小.即可得.

易错点

构造函数，判断函数的单调性.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12. 设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

因为，设，则，所以g(x)是奇函数，又，所以g(x)在上递减，从而在R上是减函数，又等价于，即，所以，解得.

考查方向

导数在函数单调性中的应用.

解题思路

构造函数，进一步判断为奇函数，g(x)在上递减，从而在R上是减函数，即可解得.

易错点

构造函数，以及条件时，的应用，不熟练.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11. 在中，内角的对边分别是，若，且，则周长的取值范围是(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

因为，且B为三角形的内角，所以，所以，又

，仅当时，取等号，所以，所以；又，所以，所以周长的取值范围是.

考查方向

本题主要考查了余弦定理与重要不等式相结合的应用

解题思路

由于且为三角形的内角，根据诱导公式可得，所以可得，再根据余弦定理和基本不等式可得，，，当且仅当时，取等号，所以，然后再根据，由此可以求出周长的取值范围.

易错点

余弦定理与重要不等式相结合.

填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13. 计算          ．

正确答案

解析

考查方向

本题主要考查了定积分的计算.

解题思路

求出定积分即可.

易错点

定积分的计算.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

15. 若满足约束条件，且的最大值为4，则实数的值为          ．

正确答案

解析

由题意可知，可行域如图所示，

可知目标函数，经过点时，取到最大值，所以.

考查方向

本题主要考查了简单的线性规划的应用.

解题思路

画出可行域，分析得到目标函数，经过点时，取到最大值，解得即可.

易错点

目标函数，经过点时，取到最大值.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

16. 已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是          ．(为自然对数的底数)

正确答案

解析

设，由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方，又因为，当时，，当时，，所以当时.取得最小值，当x=0时，g(0)=-1,当x=1时，g(1)=e>0,

直线过定点(1,0),所以，解得

考查方向

本题主要考查了利用导数研究函数的极值；函数的零点．

解题思路

设，问题转化为存在唯一的整数使得在直线的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得，，解关于 的不等式组可得．

易错点

不等式组，.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

14. 在各项均为正数的等比数列中，有，则          ．

正确答案

4

解析

因为，又因为各项均为正数的等比数列，所以4.

考查方向

本题主要考查了等比数列的性质.

解题思路

根据等比数列的性质，可得.

易错点

等比数列的性质，以及条件各项均为正数的等比数列.

简答题（综合题） 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知等差数列的前项和为，且，，且成等比数列.

21.求数列的通项公式；

22.设，求数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

或;

解析

)由等差数列性质，，所以，设公差为，则，解得d=0或d=-1,所以或.

考查方向

本题主要考查了等差数列的通项公式的求法.

解题思路

根据题意得，求出公差，即可得通项公式.

易错点

公差d解错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

或n.

解析

当时，；

当时，，

所以.

考查方向

本题主要考查了数列的求和方法：裂项求和法.

解题思路

分类当时，；当时，.即可得.

易错点

数列的求和方法：裂项求和法.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知函数.

17求函数的对称中心；

18.求在上的单调增区间.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

令，解得，

又因为，所以，所以单调增区间为.

考查方向

本题主要考查了三角函数的性质；单调区间.

解题思路

求出，又因为，即可得增区间.

易错点

三角函数的性质.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

在中，点在边上，平分，.

19.利用正弦定理证明：；

20.求的长.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

解析

由正弦定理，在三角形ABD中，，………①

在三角形ADC中，………②

又因为，

所以，

所以①÷②，得.

考查方向

本题主要考查了正弦定理的应用.

解题思路

根据题意，在两个三角形中使用正弦定理，

又因为，化简可得.

易错点

的使用.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由（Ⅰ）知，设，则BC=5x，

由，根据余弦定理，得，解得

X=1，所以BC=5.

考查方向

本题主要考查了余弦定理的应用.

解题思路

由，设，则BC=5x，可得

再根据，，即可得.

易错点

余弦定理的应用.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知函数，为自然对数的底数.

23.当时，试求的单调区间；

24.若函数在上有三个不同的极值点，求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

的单调增区间为，单调减区间为

解析

因为，当时，x>0时，恒成立.

所以当x>1时，，当0，所以的单调增区间为，单调减区间为.

考查方向

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性.

解题思路

求出导数，当x>1时，，当0，即可得.

易错点

容易遗忘a>0的条件.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由条件可知，在上有三个不同的根

即在上有两个不同的根，且

令，则

当时单调递增，时单调递减

∴的最大值为

而

∴

考查方向

利用导数研究函数的极值．

解题思路

求出导数，关键是分析在上有两个不同的根，即可得.

易错点

分析在上有两个不同的根.

1
题型：简答题
|
分值: 10分

在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为(，为参数)，曲线的极坐标方程为.

27.求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

28.设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，

解析

由，消去参数，得曲线的普通方程为.

由，得曲线的直角坐标方程为.

考查方向

本题主要考查了参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与直角坐标方程的转化.

解题思路

由，消去参数，得曲线的普通方程.由极坐标与直角坐标的转换关系，可得的直角坐标方程.

易错点

不知道如何消去参数.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设，点P到曲线的距离为

=，

当时，d有最小值，所以|ＰＱ｜的最小值为.

考查方向

本题主要考查了曲线上的点到直线的最小值.

解题思路

根据点到直线的距离公式，得到d=，当时，d有最小值，即可解得.

易错点

点到直线的距离公式.

1
题型：简答题
|
分值: 10分

已知函数.

29.当时，求的解集；

30.若的解集包含集合，求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

当a=1时，，因为，即，

所以或或，

解得或或.所以原不等式的解集为.

考查方向

本题主要考查了绝对值不等式的解法.

解题思路

根据零点分类讨论法解绝对值不等式.

易错点

绝对值不等式的解法.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为的解集包含集合，所以当时，不等式恒成立，即在上恒成立，所以，即，

所以，所以在上恒成立，

所以，所以.

考查方向

本题主要考查了不等式恒成立问题.

解题思路

在上恒成立，即转化为，解得即可.

易错点

在上恒成立，转化为出错.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知函数，为自然对数的底数.

25.讨论的单调性；

26.若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明：(为函数的导函数)

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

解析

因为，又因为

当a<2时，令，解得，令，解得，

所以g(x)的单调增区间为，减区间为.

当a=2时，，g(x)在R上单调递增.

当a>2时，令，解得，令，解得，

所以g(x)的单调减区间为，增区间为.

考查方向

本题主要考查了含参数的函数的单调性的求法.

解题思路

求出导数，分析参数a对函数单调性的影响，令或，解得即可.

易错点

对参数a分类讨论不清楚致错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

解析

因为，

所以.

当时，，函数在上单调递增，与x轴不可能有两个交点，

当a>0时，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，不妨设，且，

要证，需证，即证，

又，所以只需证.即证：当时，

.设

则，∴在上

单调递减，又，故.

考查方向

本题主要考查了导数在不等式中的应用.

解题思路

由函数当a>0时，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.要证，需证，即证，然后构造函数.

易错点

学生不会构造函数.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

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