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1.已知集合,则集合
中元素的个数为( )
正确答案
解析
集合A表示的是奇数,所以集合A和集合B的交集为,所以元素的个数为3个,所以选C
考查方向
解题思路
根据集合A、B的特点求解
易错点
相关概念混淆
知识点
2.已知复数满足
(
是虚数单位),则
( )
正确答案
解析
由题意可知,
,所以选A
考查方向
解题思路
按照复数的四则运算法则计算
易错点
忽略这一等式
知识点
3.已知,则
的值为( )
正确答案
解析
,所以选B
考查方向
解题思路
利用诱导公式进行转换
易错点
变换时没有注意到角度的取值范围
知识点
4.向量,则
( )
正确答案
解析
因为,所以
,
,所以
考查方向
解题思路
根据题意按步骤求解
易错点
计算错误
知识点
9.已知双曲线的离心率为
,则“
”是“
”的( )
正确答案
解析
由可以推出
,但由
推不出
,所以前者是后者的必要不充分条件,所以此题选B
考查方向
解题思路
根据所给条件判断逻辑关系
易错点
充分条件和必要条件理解错误,双曲线相关性质运用不恰当
知识点
5.已知表示两条不同直线,
表示三个不同平面,以下命题正确的是( )
正确答案
解析
反例:若两个平面垂直,交线为m,选项A不成立,同理可举出BC的反例,只有D选项正确,所以选D
考查方向
解题思路
根据相关性质,依次判断
易错点
考虑情况不全
知识点
6.设是等差数列
的前
项和,若
,则
( )
正确答案
解析
根据所给的已知条件,因为,
,所以选B
考查方向
解题思路
根据题意和等差数列的性质求解
易错点
不能准确的利用等差数列的性质
知识点
7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形,则该几何体的体积为( )
正确答案
解析
由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,其中侧面垂直底面,所以几何体的体积
,所以选C
考查方向
解题思路
利用所给的三视图判断出几何体的形状
易错点
从三视图还原不成几何体,几何体的体积求错
知识点
8.阅读如图所示的程序框图,若输出的结果是63,则判断框内的值可为( )
正确答案
解析
A=1,i=2;若输出A=1,则n的最大值为0
A=3,i=2;若输出A=3,则n的最大值为1
A=5,i=3;若输出A=5,则n的最大值为2
以此类推,所以若输出A=63,则最大值为6,所以选C
考查方向
解题思路
顺序结构 循环结构 判断结构
易错点
循环语句理解错误,判断条件看错
知识点
10.在区间上任取两个实数
,则
的概率是( )
正确答案
解析
由题意可设两个数x,y,则所有的基本事件满足,所研究的事件满足
,如上图,总的区域是一个边长为2的正方形,它的面积是4,所以满足条件的区域的面积为
,所以概率为
考查方向
解题思路
先根据题意作出图形,然后利用积分求面积,进而求出概率
易错点
求积分面积
知识点
11.已知是抛物线
上一点,过点
作直线
分别交抛物线于
.若
斜率分别记为
,且
,则直线
的斜率为( )
正确答案
解析
斜率相加等于0,所以一个斜率为正,一个斜率为负,列出直线点斜式方程,带入抛物线方程中,联立并消去参数,可得直线DE的斜率为-1,所以选C
考查方向
解题思路
根据已知条件设出参数,带入到抛物线中,利用等量关系求得。
易错点
斜率表示错误,计算能力弱
知识点
12.已知函数的导函数为
,满足
,且
,则函数
的最大值为( )
正确答案
解析
因为,
,
,积分得:
,当
时
代入上式,得C=1,
,所以
,解
得
,最大值
,所以选D
考查方向
解题思路
先根据所给条件变形并积分,得到f(x),进而求出函数的最大值最小值
易错点
计算失误,积分与求导关系弄混淆
知识点
15.已知是定义在
上周期为4的偶函数.若
在区间
上单调递减,且
,则
在区间
内的零点个数是 .
正确答案
5
解析
根据函数大致图形,由已知条件可知,函数在没两个区间长度的区间范围内就有一个零点,所以在[0,10]上有5个零点,所以填5
考查方向
解题思路
先根据题意作出大致图象,利用图象结合函数性质求得。
易错点
函数零点考虑情况不完全
知识点
16.数列满足
.数列
满足
,则
中的最大项的值是 .
正确答案
解析
由题意可知, ,所以
,所以
,通过观察可得,当n=3,时,bn有最大值,最大值为
考查方向
解题思路
先求出an的通项公式,再判断bn中函数的值。
易错点
通过an求bn的通项时错误
知识点
13.已知函数,则
.
正确答案
-2
解析
层层代入可计算出答案。
考查方向
解题思路
根据复合函数性质分层运算
易错点
分段函数分段不成功
知识点
14.已知的展开式中
的系数为5,则实数
.
正确答案
解析
该二次项展开为,展开式中
的系数,可令前面的式子
,所以
,后面的式子中
所以
的系数为5,所以
,所以填
考查方向
解题思路
根据二项式展开式,求得
易错点
二项式展开后,忽略某几项乘积为时的系数
知识点
19.在某次考试中,全部考生参加了“科目一”和“科目二”两个科目的考试,每科成绩分为五个等级.某考场考生的两颗考试成绩数据统计如图所示,其中“科目一”成绩为
的考生恰有4人.
(1)分别求该考场的考生中“科目一”和“科目二”成绩为的考生人数;
(2)已知在该考场的考生中,恰有2人的两科成绩均为,在至少一科成绩为
的考生中随机抽取2人进行访谈,设这2人中两科成绩均为
的人数为随机变量
,求
的分布列和数学期望.
正确答案
见解析
解析
(1)该考场考生“科目一”科目中等级学生所占频率为
1-0.2-0.375-0.25-0.075=0.1
所以该考场人数为(人)
于是“科目一”考试成绩为的人数为
“科目二”考试成绩为的人数为
(人);
(2)因为两科考试中,共有6人次得分等级为,又恰有2人的两科成绩等级均为
,所以还有2人只有一个科目得分为
,即至少有一科成绩为
的学生共有4人.
随机变量的可能取值为0,1,2
所以的分布列为
的数学期望
考查方向
解题思路
根据所有可能情况列举出来求解,写出当随机变量取不同值时的情况。
易错点
求期望错误,分布列考虑问题不全
知识点
17.在中,角
的对边分别为
,且满足
.
(1)求角的大小;
(2)求函数在区间
上的最下值及对应
的值.
正确答案
见解析
解析
(1)由已知,
即
即
则
,即
;
(2)
由知
当,即
是,
所以函数在区间
上的最小值为
,此时
.
考查方向
解题思路
先利用恒等变换换成三角函数一般形式,然后利用函数单调性求单调区间
易错点
恒等变换时候错误
知识点
18.如图,在四棱锥中,
面
,底面
是直角梯形,
是线段
的中点.
(1)求证:平面平面
(2)若二面角的余弦值为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
正确答案
见解析
解析
(1)由平面
,
平面
,
于是,有
又
平面
,
平面
平面平面
;
(2)以为原点,建立如图所示空间直角坐标系.
则
设为面
的法向量,则
即,取
,得
,则
依题意有,则
于是
设直线与平面
所成角为
,则
则直线与平面
所成角的正弦值为
.
考查方向
解题思路
利用面面垂直证明线面垂直,利用余弦定理表示出平面角的值
易错点
找不到二面角,辅助线作不出来
知识点
20.设拖延的左、右焦点分别为
,上顶点为
,过点
与
垂直的直线交
轴负半轴于点
,且
是线段
的中点,若果
三点的圆恰好与直线
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)过定点的直线
与椭圆
交于
两点,且
.若实数
满足
,求
的取值范围.
正确答案
见解析
解析
(1)设椭圆的半焦距为
由为线段
中点,
所以三点圆的圆心为
,半径为
又因为该圆与直线相切,所以
所以,故所求椭圆方程为
;
(2)若与
轴不垂直,可设其方程为
,代入椭圆方程
可得,由
,得
设,根据已知,有
于是
消去,可得
因为,所以
即有,有
若垂直于
轴,此时
故的取值范围是
.
考查方向
解题思路
利用所给条件求椭圆的方程,
易错点
计算能力
知识点
22.选修4-1:几何证明选讲
已知线段为圆
的直径,
为圆周上一点,
于
,过
作圆
的切线交
的延长线于
,过
作
垂直
的延长线于
,求证:
(1);
(2).
正确答案
见解析
解析
(1)连接,由已知,
所以四点共圆
于是
因为直线与圆
切于点
,所以
,则有
于是,所以
(2)因为四点共圆,有
由,有
因为均与
互余,即
所以
又
即.
考查方向
解题思路
利用辅助线,做出相似三角形,根据相似求出相关线段的长
易错点
辅助线,三角形相似条件找不准
知识点
21.已知函数.
(1)当时,曲线
与直线
相切,求
的值;
(2)当时,函数
图像上的点都在
所表示的平面区域内,求实数
的取值范围.
正确答案
见解析
解析
(1)当
令,于是切点坐标为
将切点坐标代入切线方程,有
;
(2)根据已知,有时,
恒成立
即恒成立
设,则原命题等价于
恒成立
若,令
,有
,此时
当是增函数;当
是减函数
于是,满足条件;
若
当是增函数;当
是减函数
于是,满足条件;
若,
,不满足条件
综上所述,实数的取值范围是
.
考查方向
解题思路
确定f(x)的定义域,计算导数,求导函数等于0时的根,列表求解,利用函数的图像求解。
易错点
求导错误,构造函数,此题难度大