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5.设函数.若
为奇函数,则曲线
在点
处的切线方程为
正确答案
7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点在正视图上的对应点为
,圆柱表面上的点
在左视图上的对应点为
,则在此圆柱侧面上,从
到
的路径中,最短路径的长度为
正确答案
6.在中,
为
边上的中线,
为
的中点,则
正确答案
4.记为等差数列
的前
项和.若
,
,则
正确答案
8.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则
=
正确答案
9.已知函数.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是
正确答案
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则
正确答案
1.设,则
正确答案
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
正确答案
2.已知集合,则
正确答案
11.已知双曲线C:,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若
为直角三角形,则|MN|=
正确答案
12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为
正确答案
15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法
共有_____________种.(用数字填写答案)
正确答案
16
13.若,
满足约束条件
,则
的最大值为_____________.
正确答案
6
14.记为数列
的前
项和.若
,则
_____________.
正确答案
16.已知函数,则
的最小值是_____________.
正确答案
18.(12分)
如图,四边形为正方形,
分别为
的中点,以
为折痕把
折起,使点
到达点
的位置,且
.
(1)证明:平面平面
;
(2)求与平面
所成角的正弦值.
正确答案
(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.
又平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.
由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.
可得.
则为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为,则
.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
20.(12分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为,且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求
的最大值点
.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的作为
的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为,求
;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
正确答案
(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此
.
令,得
.当
时,
;当
时,
.
所以的最大值点为
.
(2)由(1)知,.
(i)令表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知
,
,即
.
所以.
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于,故应该对余下的产品作检验.
17.(12分)
在平面四边形中,
,
,
,
.
(1)求;
(2)若,求
.
正确答案
(1)在中,由正弦定理得
.
由题设知,,所以
.
由题设知,,所以
.
(2)由题设及(1)知,.
在中,由余弦定理得
.
所以.
19.(12分)
设椭圆的右焦点为
,过
的直线
与
交于
两点,点
的坐标为
.
(1)当与
轴垂直时,求直线
的方程;
(2)设为坐标原点,证明:
.
正确答案
(1)由已知得,l的方程为x=1.
由已知可得,点A的坐标为或
.
所以AM的方程为或
.
(2)当l与x轴重合时,.
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以.
当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为,
,
则,直线MA,MB的斜率之和为
.
由得
.
将代入
得
.
所以,.
则.
从而,故MA,MB的倾斜角互补,所以
.
综上,.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线
的方程为
.以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的直角坐标方程;
(2)若与
有且仅有三个公共点,求
的方程.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知.
(1)当时,求不等式
的解集;
(2)若时不等式
成立,求
的取值范围.
正确答案
(1)由,
得
的直角坐标方程为
.
(2)由(1)知是圆心为
,半径为
的圆。由题设知,
是过点
且关于
轴对称的两条射线.记
轴右边的射线为
,
轴左边的射线为
.由于
在圆
的外面,故
与
有且仅有三个公共点等价于
与
只有一个公共点且
与
有两个公共点,或
与
只有一个公共点且
与
有两个公共点.
当与
只有一个公共点时,
到
所在直线的距离为
,所以
,故
或
.
经检验,当时,
与
没有公共点;当
时,
与
只有一个公共点,
与
有两个公共点.
当与
只有一个公共点时,
到
所在直线的距离为
,所以
,故
或
.
经检验,当时,
与
没有公共点;当
时,
与
没有公共点.
综上,所求的方程为
.
正确答案
[选修4—5:不等式选讲](10分)
解析
(1)当时,
,即
故不等式的解集为
.
(2)当时
成立等价于当
时
成立.
若,则当
时
;
若,
的解集为
,所以
,故
.
综上,的取值范围为
.
21.(12分)
已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在两个极值点
,证明:
.
正确答案
(1)的定义域为
,
.
(i)若,则
,当且仅当
,
时
,所以
在
单调递减.
(ii)若,令
得,
或
.
当时,
;
当时,
.所以
在
单调递减,在
单调递增.
(2)由(1)知,存在两个极值点当且仅当
.
由于的两个极值点
满足
,所以
,不妨设
,则
.由于
,
所以等价于
.
设函数,由(1)知,
在
单调递减,又
,从而当
时,
.
所以,即
.