2016年高考真题理科数学 (江苏卷)

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试卷目录

1、填空题

2、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

填空题本大题共14小题，每小题5分，共70分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

2.复数，其中为虚数单位，则的实部是．

正确答案

5；

解析

由复数乘法可得，则则的实部是5．

考查方向

复数概念

解题思路

根据复数的乘法运算化简结合复数定义求解。

易错点

复数中i2=-1.

知识点

复数代数形式的乘除运算

题型：填空题

分值: 5分

3.在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是．

正确答案

；

解析

【解析】，因此焦距为．

考查方向

双曲线性质

解题思路

根据双曲线的性质以及求解。

易错点

双曲线中，不要与椭圆中的关系混淆。

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

分值: 5分

8.已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是．

正确答案

；

解析

设公差为，则由题意可得，，

解得，，则．

考查方向

等差数列定义通项以及前n项和。

解题思路

根据等差数列的通项以及求和列出方程组，求出基本量然后求特定项。

易错点

列方程求基本量致误

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用

题型：填空题

分值: 5分

1.已知集合则．

正确答案

；

解析

由交集的定义可得．

考查方向

集合运算

解题思路

在中找出A中的数。

易错点

范围与具体数字取交集的计算。

知识点

交集及其运算

题型：填空题

分值: 5分

5.函数的定义域是．

正确答案

；

解析

，解得，因此定义域为．

考查方向

函数定义域

解题思路

列出满足要求的不等式，利用不等式求解

易错点

列出所有满足要求的不等式

知识点

奇偶函数图象的对称性

题型：填空题

分值: 5分

6.如图是一个算法的流程图，则输出的值是．

正确答案

9；

解析

的变化如下表：

则输出时．

考查方向

循环结构流程图

解题思路

根据算法的程序流程逐项验证，直到循环终止输出结果。

易错点

循环终止的条件

知识点

选择结构

题型：填空题

分值: 5分

4.已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．

正确答案

；

解析

，．

考查方向

方差

解题思路

根据方差公式求解

易错点

公式中要除以n。

知识点

极差、方差与标准差

题型：填空题

分值: 5分

7.将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．

正确答案

；

解析

将先后两次点数记为，则共有个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有六种，则点数之和小于10共有30种，概率为．

考查方向

古典概型概率

解题思路

列出所有基本事件空间以及发生事件的空间，利用比例解法求解。

易错点

列举事件的准确性。

知识点

古典概型的概率

题型：填空题

分值: 5分

9.定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是．

正确答案

7；

解析

画出函数图象草图，共7个交点．

考查方向

三角函数图像

解题思路

画出两函数图像，找出交点个数。

易错点

图像画法，注意周期

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 5分

10.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是．

正确答案

；

解析

由题意得，直线与椭圆方程联立可得，，

由可得，，，

则，由可得，则．

考查方向

椭圆离心率

解题思路

设出各点坐标，根据向量数量积，列出方程，得到关于a，c的方程，求出e。

易错点

设点求解时正确建立方程关系。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：填空题

分值: 5分

13.如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，则的值是．

正确答案

；

解析

令，，则，，，

则，，，，，，

则，，，

由，可得，，因此，

因此．

考查方向

向量数量积

解题思路

设出基向量，求出向量表达式，利用向量的关系通过转化求出数量积。

易错点

向量的线性转化运算。

知识点

线面角和二面角的求法

题型：填空题

分值: 5分

14.在锐角三角形中，，则的最小值是．

正确答案

8；

解析

由，，

可得（*），

由三角形为锐角三角形，则，

在（*）式两侧同时除以可得，

又(#)，

则，

由可得，

令，由为锐角可得，

由(#)得，解得

，

，由则，因此最小值为，

当且仅当时取到等号，此时，，

解得（或互换），此时均为锐角．

考查方向

三角恒等变换，切的性质应用

解题思路

根据诱导公式、和差角公式化简，利用两边同除得到正切关系，应用正切公式的变形分析表示出，转化为函数关系应用函数思想求解。

易错点

公式变形，函数关系转化，函数思想应用。

知识点

诱导公式的推导

题型：填空题

分值: 5分

11.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上

其中，若，则的值是．

正确答案

；

解析

由题意得，，

由可得，则，

则．

考查方向

分段函数，周期性质

解题思路

根据周期性求出a，然后代入应用周期性求值。

易错点

分段函数，周期性质

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：填空题

分值: 5分

12.已知实数满足则的取值范围是．

正确答案

；

解析

在平面直角坐标系中画出可行域如下

为可行域内的点到原点距离的平方．

可以看出图中点距离原点最近，此时距离为原点到直线的距离，

，则，

图中点距离原点最远，点为与交点，则，

则．

考查方向

线性规划

解题思路

画出可行域，结合目标函数几何意义求最值。

易错点

注意最后要求距离的平方。

知识点

一元高次不等式的解法

简答题（综合题）本大题共124分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 14分

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．

19．若，，则仓库的容积是多少；

20．若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，仓库的容积最大？

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

，则，

，，

，

故仓库的容积为；

考查方向

函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积

解题思路

易错点

列函数解析式，求导与分类讨论。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

设，仓库的容积为

则，，，

，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

因此，当时，取到最大值，

即时，仓库的容积最大．

考查方向

函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积

解题思路

易错点

列函数解析式，求导与分类讨论。

题型：简答题

分值: 14分

如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆：

及其上一点．

21.设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；

22.设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；

23.设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为在直线上，设，因为与轴相切，

则圆为，

又圆与圆外切，圆：，

则，解得，即圆的标准方程为；

考查方向

直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算

解题思路

易错点

圆的方程、直线方程的求法及表示，位置关系中的几何表示。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

或

解析

由题意得，设，则圆心到直线的距离,

则，，即，

解得或，即：或；

考查方向

直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算

解题思路

易错点

圆的方程、直线方程的求法及表示，位置关系中的几何表示。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

，即，即，

，又,

即，解得，

对于任意，欲使，

此时，只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，

必然与圆交于两点，此时，即，

因此对于任意，均满足题意，

综上．

考查方向

直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算

解题思路

易错点

圆的方程、直线方程的求法及表示，位置关系中的几何表示。

题型：简答题

分值: 14分

记．对数列（）和的子集，若，定义；

若，定义．例如：时，．

现设（）是公比为的等比数列，且当时，．

27.求数列的通项公式；

28.对任意正整数（），若，求证：；

29.设，，，求证：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

当时，，因此，从而，；

考查方向

等比数列的通项公式、求和

解题思路

易错点

放缩，数列基本关系的转化，等比数列求和的应用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

；

考查方向

等比数列的通项公式、求和

解题思路

易错点

放缩，数列基本关系的转化，等比数列求和的应用

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

设，，则，，，，因此原题就等价于证明．

由条件可知．

① 若，则，所以．

② 若，由可知，设中最大元素为，中最大元素为，

若，则由第⑵小题，，矛盾．

因为，所以，所以，

，即．

综上所述，，因此．

解析

设，，则，，，，因此原题就等价于证明．

由条件可知．

① 若，则，所以．

② 若，由可知，设中最大元素为，中最大元素为，

若，则由第⑵小题，，矛盾．

因为，所以，所以，

，即．

综上所述，，因此．

考查方向

等比数列的通项公式、求和

解题思路

易错点

放缩，数列基本关系的转化，等比数列求和的应用

题型：简答题

分值: 14分

已知函数．

24.设，．求方程的根

25. 若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；

26.若，，函数有且只有1个零点，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，由可得，

则，即，则，；

考查方向

指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点

解题思路

易错点

基本不等式的应用，分类讨论思想，函数与方程思想

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

由题意得恒成立，

令，则由可得，

此时恒成立，即恒成立

∵时，当且仅当时等号成立，

因此实数的最大值为．

考查方向

指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点

解题思路

易错点

基本不等式的应用，分类讨论思想，函数与方程思想

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

，，

由，可得，令，则递增，

而，因此时，

因此时，，，则；

时，，，则；

则在递减，递增，因此最小值为，

① 若，时，，，则；

logb2时，，，则；

因此且时，，因此在有零点，

且时，，因此在有零点，

则至少有两个零点，与条件矛盾；

② 若，由函数有且只有1个零点，最小值为，

可得，

由，

因此，

因此，即，即，

因此，则．

考查方向

指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点

解题思路

易错点

基本不等式的应用，分类讨论思想，函数与方程思想

题型：简答题

分值: 14分

在中，，，．

15.求的长；

16. 求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；．

解析

，为三角形的内角

，即：；

考查方向

同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式

解题思路

易错点

公式应用，公式变形。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

．

解析

又为三角形的内角

．

考查方向

同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式

解题思路

易错点

公式应用，公式变形。

题型：简答题

分值: 14分

如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，

且，．

17．求证：直线平面；

18. 求证：平面平面．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

为中点，为的中位线

又为棱柱，

，又平面，且

平面；

解析

为中点，为的中位线

又为棱柱，

，又平面，且

平面；

考查方向

直线与直线、平面与平面位置关系

解题思路

易错点

判定定理的选用，线面关系的转化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

为直棱柱，平面

，又

且，平面

平面，

又，平面

又平面，

又，，且平面

平面，又

平面平面．

解析

为直棱柱，平面

，又

且，平面

平面，

又，平面

又平面，

又，，且平面

平面，又

平面平面．

考查方向

直线与直线、平面与平面位置关系

解题思路

易错点

判定定理的选用，线面关系的转化

题型：简答题

分值: 10分

如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线．

34.若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；

35.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．

①求证：线段上的中点坐标为；

②求的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

，与轴的交点坐标为

即抛物线的焦点为，

；

考查方向

直线与抛物线位置关系

解题思路

易错点

抛物线方程的形式，设而不求的思想。直线与抛物线的位置关系的运算程序。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

① 设点，

则：，即，

又关于直线对称，

即，

又中点一定在直线上

线段上的中点坐标为；②

解析

① 设点，

则：，即，

又关于直线对称，

即，

又中点一定在直线上

线段上的中点坐标为；

② 中点坐标为

即

，即关于有两个不等根

，，．

考查方向

直线与抛物线位置关系

解题思路

易错点

抛物线方程的形式，设而不求的思想。直线与抛物线的位置关系的运算程序。

题型：简答题

分值: 10分

回答以下问题。

36.求的值；

37.设，，求证：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

；

考查方向

组合数及其性质

解题思路

根据组合数公式化简求值

易错点

组合数公式，错位相减求和，组合数性质的应用。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

对任意的，

① 当时，左边，右边，等式成立，

② 假设时命题成立，

即，

当时，

左=

，

右边，

而，

因此，

因此左边=右边，

因此时命题也成立，

综合①②可得命题对任意均成立．

另解：因为，所以

左边

又由，知

，

所以，左边右边．

解析

对任意的，

① 当时，左边，右边，等式成立，

② 假设时命题成立，

即，

当时，

左=

，

右边，

而，

因此，

因此左边=右边，

因此时命题也成立，

综合①②可得命题对任意均成立．

另解：因为，所以

左边

又由，知

，

所以，左边右边．

考查方向

组合数及其性质

解题思路

设置目的指向应用组合数性质解决问题，而组合数性质不仅有课本上的，而且可由（1）归纳出的；单纯从命题角度看，可视为关于n的等式，可结合数学归纳法求证；从求和角度看，左边式子可看做展开式中含项的系数，再利用错位相减求和得含项的系数，从而达到化简求证的目的

易错点

组合数公式，错位相减求和，组合数性质的应用。

题型：简答题

分值: 20分

本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

材料A．[选修4-1：几何证明选讲]（回答30题）

如图，在中，，，为垂足，是中点．

材料B．[选修4-2：矩阵与变换]（回答31题）

已知矩阵，矩阵的逆矩阵，

材料C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（回答32题）

在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，椭圆的参数方程为，设直线与椭圆相交于两点，

材料D．[选修4-5：不等式选讲]（回答33题）

设，，，

回答下列问题

30.求证：．

31.求矩阵．

32.求线段的长．

33.求证：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

由可得，

由是中点可得，

则，

由可得，

因此，

又可得．

解析

由可得，

由是中点可得，

则，

由可得，

因此，

又可得．

考查方向

相似三角形

解题思路

先由直角三角形斜边上中线性质，再由，与互余，与互余，等角关系：，从而得证

易错点

平面几何基本定理的应用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

，因此．

考查方向

逆矩阵，矩阵乘法

解题思路

易错点

逆矩阵的转化运算

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

直线方程化为普通方程为，

椭圆方程化为普通方程为，

联立得，解得或，

因此．

考查方向

直线与椭圆参数方程

解题思路

易错点

参数方程与普通方程的互化。

第(4)小题正确答案及相关解析

正确答案

可得，

解析

由可得，

．

考查方向

含绝对值的不等式证明

解题思路

利用含绝对值的不等式进行放缩证明

易错点

绝对值三角不等式的模式与应用。

理科数学 热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

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解题思路

易错点

知识点

正确答案

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解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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