• 理科数学 常州市2012年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.已知复数,(m∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则m的值是(        )

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4.过点(1,0)且倾斜角是直线2x+3y+3=0的倾斜角的两倍的直线方程是(    )

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2.设集合,则A∪B=(        )

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5.下边是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序,若x依次取数列(n∈N+)中的前200项,则所得y值中的最小值为(        )

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3.函数的单调递增区间是(          )

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7.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行”的(     )条件。(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

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6.设ω>0,函数的图象向右平移个单位后与原图象重合,则ω的最小值是(        )

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9.若,则a的取值范围是(            )

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8.设点P是曲线上的任意一点,点P处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围为(     )

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13.已知关于x的实系数一元二次不等式ax2+bx+c≥0(a<b)的解集为R,则的最小值是(      )

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10.如图,l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,l3与l2间的距离是2,正△ABC的三顶点分别在l1,l2,l3上,则△ABC的边长是(         )

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12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若(a2-1)3+2010(a2-1)=1,(a2009-1)3+2010(a2009-1)=-1,则下列四个命题中真命题的序号为(        )

①S2009=2009;

②S2010=2010;

③a2009<a2

④S2009<S2

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11.已知△ABC中,AB边上的中线CM=2,若动点P满足,则的最小值是(        )

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14.已知二次函数f(x)=x2-x+k,k∈Z,若函数g(x)=f(x)-2在上有两个不同的零点,则的最小值为(         )

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简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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19.某地发生特大地震和海啸,使当地的自来水受到了污染,某部门对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质。已知每投放质量为m的药剂后,经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足,当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在水口释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化。

(1)如果投放的药剂质量为m=4,试问自来水达到有效净化一共可持续几天?

(2)如果投放的药剂质量为m,为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化,试确定该投放的药剂质量m的值。

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17.已知函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞),且f(2)=2+。设点P是函数图象上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、N。

  

(1)求a的值。

(2)问:|PM|•|PN|是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由。

(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值。

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15.已知函数

(1)求f(x)的最小正周期和值域;

(2)若x=x0为f(x)的一个零点,求sin2x0的值。

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20.已知函数f(x)=ax3+bx2+(b-a)x(a,b不同时为零的常数),导函数为f′(x)。

(1)当时,若存在x∈[-3,-1]使得f′(x)>0成立,求b的取值范围;

(2)求证:函数y=f′(x)在(-1,0)内至少有一个零点;

(3)若函数f(x)为奇函数,且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0,关于x的方程在[-1,t](t>-1)上有且只有一个实数根,求实数t的取值范围。

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16.设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足

(Ⅰ)求角B的大小;

(Ⅱ)若,试求的最小值。

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18.设函数上两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),若,且P点的横坐标为

(1)求证:P点的纵坐标为定值,并求出这个值;

(2)若,n∈N*,求Sn

(3)记Tn为数列的前n项和,若对一切n∈N*都成立,试求实数a的取值范围。

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