单选题
本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
填空题
本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在题中横线上。
1
15.下列命题:
①四面体一定有外接球;
②四面体一定有内切球;
③四面体任三个面的面积之和大于第四个面的面积;
④四面体的四个面中最多有三个直角三角形;
⑤四面体对棱中点的连线与另外四条棱异面.
其中真命题的序号是_________(填上所有真命题的序号).
分值: 5分
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简答题(综合题)
本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
17.宿州市教育局举行科普知识竞赛,参赛选手过第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,第三个问题回答正确得20分,若回答错误均得0分,总分不少于30分为过关。如果某位选手回答前两个问题正确的概率都是,回答第三个问题正确的概率是
,且各题回答正确与否互不影响,记这位选手回答这三个问题的总得分为X.
(Ⅰ)求这位选手能过第一关的概率;
(Ⅱ)求X的分布列及数学期望.
分值: 12分
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1
18.如图,五面体中,
.底面
是正三角形,
.四边形
是矩形,平面
平面
(I)求这个几何体的体积;
(Ⅱ)在
上运动,问:当
在何处时,有
∥平面
,请说明理由;
(III)求二面角的余弦值.
分值: 12分
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1
20.对于给定数列,如果存在实常数
.
,使得
对于任意
都成立,我们称数列
是 “线性数列”.
(I)如果,
,
,那么数列
.
是否为“线性数列”?若是,分别指出它们对应的实常数
、
;若不是,请说明理由;
(II)若数列满足
,
,
为常数.
(1) 求数列前
项的和;
(2) 是否存在实数,使数列
是“线性数列”,如果存在,求出所有
的值;如果不存在,请说明理由.
分值: 13分
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