理科数学 2012年高三试卷

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单选题
填空题
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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

4．下列4个命题:

（1）命题“若，则”；

（2）“”是“对任意的实数，成立”的充要条件；

（3）设随机变量服从正态分布N（0，1），若；

（4）命题“，”的否定是：“，”；

其中正确的命题个数是（）

正确答案

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知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

分值: 5分

6．阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（）

正确答案

解析

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知识点

流程图的概念

题型：单选题

分值: 5分

7．已知集合N，，在集合中随机取两个点．，则P、Q两点在同一反比例函数图象上的概率是（）

正确答案

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知识点

集合的含义

题型：单选题

分值: 5分

1．若集合则满足条件的实数x的个数有（）

A1个

B2个

C3个

D4个

正确答案

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知识点

集合的含义

题型：单选题

分值: 5分

2．函数的定义域是（）

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

3.下图是各条棱长均为2的正四面体的三视图，则正（主）视图三角形的面积为（）

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

5．设函数在处取得极值，则的值为（）

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

8．若， > 0，且，则的最小值是（）

正确答案

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知识点

不等式的性质

题型：单选题

分值: 5分

9．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）。则（）

A-3

B-2

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

10．下图为函数轴和直线分别交于点P、Q，点N（0，1），若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为（）

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

填空题本大题共8小题，每小题5分，共40分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

14.如图所示，已知F1，F2是椭圆的左．右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为_______________。

正确答案

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知识点

空间几何体的结构特征

题型：填空题

分值: 12分

16．已知

（1）求的最大值，及当取最大值时x的取值集合。

（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有，若，求的最大值。

正确答案

解：（1）

（2）因为对定义域内任一x有

∴=

最大为

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 12分

17．某学校要用三辆校车从老校区把教职工接到校本部，已知从老校区到校本部有两条公路，校车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；校车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为．若甲．乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．

（1）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；

（2）在（1）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的辆数的分布列和数学期望．

正确答案

解：（1）由已知条件得

即，则

答：的值为．

（2）解：可能的取值为0，1，2，3

的分布列为：

所以

答：数学期望为．

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知识点

随机事件的关系

题型：填空题

分值: 12分

18.如图，在三棱柱中，所有的棱长都为2，．

（1）求证：；

（2）当三棱柱的体积最大时，求平面与平面所成的锐角的余弦值。

正确答案

解:（1）证明：取的中点，连接，

在三棱柱中，所有棱长都为2，

则，所以平面

而平面，故

（2）当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，此时平面．

设平面与平面的交线为，

在三棱柱中，，平面，则，

过点作交于点，连接．由，知平面，

则，故为平面与平面所成二面角的平面角。

在中，,则

在中，，,

即平面与平面所成锐角的余弦值为。

另解：当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大

此时平面．以所在的直线分别为轴，建立直角坐标系

依题意得．

由得，设平面的一个法向量为

而，则，取

而平面，则平面的一个法向量为

于是，

故平面与平面所成锐角的余弦值为。

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知识点

任意角的概念

题型：填空题

分值: 5分

11．已知，且，那么的展开式中的常数项为_______________。

正确答案

-540

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 5分

12．如图，在直角梯形中，，，，，点是梯形内（包括边界）的一个动点，点是边的中点，则的最大值是_______。

正确答案

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空间几何体的结构特征

题型：填空题

分值: 5分

13．设实数满足不等式组，则的最小值为_______________。

正确答案

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知识点

不等式的性质

题型：填空题

分值: 5分

15．数列{}的前n项和为，若数列{}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，…，，，…，，…有如下运算和结论：

①;

②数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列；

③数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为＝；

④若存在正整数，使，则．

其中正确的结论是___________（将你认为正确的结论序号都填上）

正确答案

①③④

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四种命题及真假判断

简答题（综合题）本大题共39分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

19．已知函数

（1）若在区间单调递增，求a的取值范围；

（2）若—1＜a＜3，证明：对任意都有＞1成立．

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

分值: 13分

20．如图，已知抛物线的准线为,焦点为．⊙M的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切．过原点作倾斜角为的直线,交于点, 交⊙M于另一点,且．

（1）求⊙M和抛物线的方程；

（2）若为抛物线上的动点,求的最小值；

（3）过上的动点向⊙M作切线,切点为,求证：直线恒过一个定点,并求该定点的坐标．

正确答案

解：（1）因为,即,所以抛物线C的方程为．

设⊙M的半径为,则,所以的方程为

（2）设,则=

所以当时, 有最小值为2

（3）以点Q这圆心,QS为半径作⊙Q,则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦

设点,则,所以⊙Q的方程为

从而直线QS的方程为(*)

因为一定是方程(*)的解,所以直线QS恒过一个定点,且该定点坐标为

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抛物线的定义及应用

题型：简答题

分值: 14分

21．设为数列的前项和，对任意的，都有（为常数，且）．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的公比，数列满足，N，求数列的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求证：数列的前项和。

正确答案

解：（1）证明：当时，，解得

当时，．即

∵为常数，且，∴

∴数列是首项为1，公比为的等比数列…

（2）解：由（1）得，，

∵

∴，即

∴是首项为，公差为1的等差数列

∴，即（N）

（3）证明：由（2）知，则．

∴，

当时，，

∴

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知识点

由数列的前几项求通项

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