理科数学青岛市2012年高三试卷

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试卷目录

1、单选题

2、简答题

3、填空题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1．已知全集U＝R，集合集合，则（）

正确答案

解析

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知识点

集合的含义

题型：单选题

分值: 5分

4．下列4个命题：

（1）命题“若，则”；

（2）“”是“对任意的实数，成立”的充要条件；

（3）设随机变量服从正态分布N（0，1），若；

（4）命题“，”的否定是：“，”

其中正确的命题个数是（）

正确答案

解析

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知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

分值: 5分

9．已知集合A={x|}，集合B={a|已知函数，x0>0，使成立}，则=（）

A{x|}

B{x|}

C{x|}

D{x|}

正确答案

解析

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知识点

集合的含义

题型：单选题

分值: 5分

10．记点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是（）

A圆

B椭圆

C双曲线的一支

D直线

正确答案

解析

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知识点

直线的倾斜角与斜率

题型：单选题

分值: 5分

2．曲线和直线x=0，所围成的平面区域的面积为（）

正确答案

解析

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知识点

任意角的概念

题型：单选题

分值: 5分

3．对于平面和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是（）

正确答案

解析

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知识点

空间几何体的结构特征

题型：单选题

分值: 5分

5．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，只知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.1之间的学生人数为b，则a和b的值分别为（）

A0.27 78

B0.27 85

C2.7 78

D2.7 85

正确答案

解析

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知识点

频率分布直方图

题型：单选题

分值: 5分

6．如下图所示的是根据输入的x值计算y的值的程序框图，若x依次取数列中的项，则所得y值的最小值为（）

C16

D32

正确答案

解析

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知识点

流程图的概念

题型：单选题

分值: 5分

7．已知函数，且实数>>>0满足，若实数是函数=的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（）

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

8．三角形的内角平分线定理是这样叙述的：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。已知在△ABC中，∠A=60o，∠A的平分线AD交边BC于点D，设AB＝3，且，则AD的长为（）

正确答案

解析

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知识点

任意角的概念

简答题（综合题）本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

16．已知向量，设函数＋1

（1）若，，求的值；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，求的取值范围

正确答案

（1）

∵，

∴；

又∵，

∴，

即

∴，

即

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知识点

空间几何体的结构特征

题型：简答题

分值: 12分

19．各项为正数的数列的前n项和为，且满足：

（1）求；

（2）设函数求数列

正确答案

（1）由①得，

当n≥2时，②；

由①－②化简得：

，

又∵数列各项为正数，

∴当n≥2时，

，

故数列成等差数列，公差为2，

又，

解得；

（2）由分段函数

可以得到：

；

当n≥3，时，，

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

分值: 13分

20．设平面内两定点，直线PF1 和PF2相交于点P，且它们的斜率之积为定值；

（1）求动点P的轨迹C1的方程；

（2）设M（0，），N为抛物线C2：上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P、Q两点，求面积的最大值

正确答案

（1）设点P（x，y），

依题意则有，

整理得：

（2）设，

则PQ的方程为：

，

联立方程组，

消去y整理得：

，

有，

而

由代入化简得：

即；

当且仅当时，取到最大值。

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知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：简答题

分值: 12分

17．中国黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）。若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。

（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；

（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。

正确答案

（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：．

（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，

按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为人，

“非高个子”为人；

则至少有1人为高个子的概率

＝1－

（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，

则的可能取值为0，1，2，3；

故，

，

即的分布列为：

＝0＋1＋2＋3＝。

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知识点

随机事件的关系

题型：简答题

分值: 12分

18．已知直三棱柱的三视图如图所示，且是的中点

（1）求证：∥平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）试问线段上是否存在点，使与成角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由

正确答案

（1）证明：根据三视图知：

三棱柱是直三棱柱，

，

连结，交于点，连结．

由是直三棱柱，

得四边形为矩形，为的中点．

又为中点，所以为中位线，

所以 ∥，

因为平面，平面，

所以 ∥平面．

（2）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直．

如图建立空间直角坐标系．

，

则．

所以，

设平面的法向量为，

则有

所以

取，得．

易知平面的法向量为．

由二面角是锐角，

得．

所以二面角的余弦值为．

（3）解：假设存在满足条件的点．

因为在线段上，，，

故可设，其中．

所以，．

因为与成角，

所以．

即，

解得，舍去．

所以当点为线段中点时，与成角．

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知识点

任意角的概念

题型：简答题

分值: 14分

21．（1）证明不等式：

（2）已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。

（3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数的最大值。

正确答案

（1）令，

则

∴g（x）在上单调递减，

即g（x）<g（0），

从而成立

（2）由，

当x=0或时，

，

由已知得在上恒成立，

∴，又f（x）在有意义，

∴a≥0，

综上：；

（3）由已知在上恒成立，

∵，

当x>0时，

易得恒成立，

令

得恒成立，

由（2）知：

令a=2得：

（1＋x）>，

∴；

由（1）得：

当时，；

∴当时，

不大于；

∴；

当x=0时，b∈R，综上：

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知识点

不等式的性质

填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

11．若z=1+，且，，则=________。

正确答案

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知识点

虚数单位i及其性质

题型：填空题

分值: 5分

12．若函数满足且的最小值为，则函数的单调增区间为________

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 5分

13．设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为9，则d=的最小值为_________。

正确答案

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知识点

不等式的性质

题型：填空题

分值: 5分

14．如图，直线l⊥平面，垂足为O，已知在直角三角形ABC中， BC＝1，AC＝2，AB＝．该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：（1），（2）．则B、O两点间的最大距离为________。

正确答案

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知识点

任意角的概念

题型：填空题

分值: 5分

15．（考生注意：本题为选做题，请在下列两题中任选一题作答，如果都做，则按所做第（1）题计分）

（1）（《坐标系与参数方程选讲》选做题）

已知曲线C的极坐标方程为，则曲线C上的点到直线为参数）距离的最大值为_________。

（2）（《几何证明选讲》选做题）

已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于点A，的平分线分别交AB、AE于点D、F，则=___________。

正确答案

（1）

（2）45°

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知识点

函数解析式的求解及常用方法

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正确答案

解析

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