理科数学济南市2017年高三第二次模拟考试

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1．已知复数满足，为虚数单位，则( )

正确答案

解析

解：因为复数满足，选D

考查方向

本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，属于基础题．

解题思路

由题意可得，再利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位的幂运算性质，化简求得结果．

易错点

而不是.

题型：单选题

分值: 5分

2．已知集合，，则（）

正确答案

解析

解：

因为，，

所以， ,故选C.

考查方向

本题主要考查了交集及其运算，涉及一元二次不等式的解法及指数函数的性质，属于基础题．

解题思路

分别求出A,B的集，再根据交集的定义求即可.

易错点

分不清集合类型.

题型：单选题

分值: 5分

3．直线与曲线围成图形的面积为（）

正确答案

解析

解：由直线与曲线，解得或，所以直线与曲线的交点为和，因此，直线与曲线所围成的封闭图形的面积是，故选C.

考查方向

本题考查了定积分在求不规则图形面积中的应用，属于基础题.

解题思路

求出直线和曲线的交点坐标，利用定积分求出两者所围图形的面积.

易错点

求不出两函数之差的原函数.

题型：单选题

分值: 5分

7．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（）

正确答案

解析

解：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.

考查方向

本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.

解题思路

设圆上一点和中点为，则由中点坐标公式可将用来表示，即，而在圆上，代入整理即可得到的轨迹方程.

易错点

不会用“逆代法”：代入求轨迹方程，

题型：单选题

分值: 5分

9．已知双曲线：的左、右焦点分别为，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线分别交双曲线左、右支于另一点，，且，则双曲线的离心率为（）

正确答案

解析

解：

由题意，，连接,根据双曲线的对称性可得为平行四边形，，由余弦定理可得，故选B.

考查方向

本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.

解题思路

由已知和双曲线的第一定义可得：，再结合余弦定理可得到，进而求出离心率.

易错点

不熟悉椭圆的第一定义，无法挖掘出这个条件.

题型：单选题

分值: 5分

10．已知函数满足，且当时，，若当时，函数与轴有交点，则实数的取值范围是（）

正确答案

解析

解：因为函数满足，且当时，，则在上，，若当时，函数与轴有交点，即函数的图象有交点，如图过的斜率，

则实数的取值范围为，综上所述，故选D.

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性、数形结合思想的应用，属于难题.

解题思路

先求出函数在上的表达式，并将其图像大致画出来，再画一条直线，问题等价于函数的图象有交点，结合图像可得出实数的取值范围.

易错点

不能利用树形结合的方法解决问题，不能使问题更加具象.

题型：单选题

分值: 5分

4．已知函数的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（）

A关于点对称

B关于直线对称

C关于点对称

D关于直线对称

正确答案

解析

解：因为函数的最小正周期是，所以， ,所以，将其图象向右平移个单位后得到的函数为，又因为为奇函数，所以，得，则，，所以函数的图象关于直线对称，故选D.

考查方向

本题考查了三角函数的性质、待定系数法求函数解析式、函数的奇偶特性等，比较基础，属于容易题.

解题思路

由函数的最小正周期是，求出，再根据平移的性质得到，又是奇函数，则可求出，从而求出对称轴.

易错点

函数图象向右平移个单位后得到的函数为而不是

题型：单选题

分值: 5分

5．下列说法错误的是（）

A对于命题，则

B“”是“”的充分不必要条件

C若命题为假命题，则都是假命题

D命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”

正确答案

解析

解：根据全称命题的否定是特称命题知A正确；由于可得，而由得或，所以“”是“”的充分不必要条件正确；命题为假命题，则不一定都是假命题，故C错；根据逆否命题的定义可知D正确，故选C.

考查方向

本题考查了命题及其关系、充分条件与必要条件的判定，属于基础题.

解题思路

按顺序考查每一个选项，直到选项所述内容错误为止.

易错点

不了解命题及其关系、充分条件与必要条件的相关知识.

题型：单选题

分值: 5分

6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）

正确答案

解析

解：正视图和侧视图完全相同时，牟合方盖相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，而俯视图为一个正方形，且有两条实线的对角线，选A.

考查方向

本题考查了三视图，考生要有一定的空间想象能力，属于基础题.

解题思路

利用体重所给描述和图形可知其正视图是一个圆，其俯视图为正方形，且有两条实线的对角线.

易错点

将正视图想成了c.

题型：单选题

分值: 5分

8．等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（）

A29

B31

C33

D36

正确答案

解析

解：设等比数列的首项为，公比为，由题意知，解得，所以，故选B．

考查方向

本题考查了等比数列通向公式、等差数列的等差中项、等比数列的前n项和，属于基础题.

解题思路

利用等比数列通向公式将化为，与的等差中项为，则由等差中项可得，联立即可求得，进而求出.

易错点

计算能力差，联立和时求解不出来.

填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

11．已知实数，满足则的最小值为．

正确答案

解析

解：作出实数，满足的平面区域，如图所示，因为表示平面区域内的点与定点连线的斜率，由图知斜率最小，所以的最小值为．

考查方向

本题考查了简单的线性规划问题，属于基础题

解题思路

作出满足约束条件的区域，的值等价于限制区域内的点与定点连线的斜率，找出斜率的最小值即为所求.

易错点

不会找多个条件约束下的线性区域.

题型：填空题

分值: 5分

13．已知，则__________．

正确答案

解析

解：，则，故选答案为.

考查方向

本题考查了三角函数的二倍角公式、拼凑法求值，属于基础题.

解题思路

由式子求得，，显然所求余弦值的角为其两倍，则利用二倍角公式可展开得.

易错点

试图利用分别求出的值，这样计算大且难以判断其正负性.

题型：填空题

分值: 5分

15．在中，点D满足，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若，则的最小值为________．

正确答案

解析

解：由，得，即，因为点E在射线AD（不含点A）上移动，所以，又因为，所以，

则（当且仅当，即时取等号）；故填．

考查方向

本题考查阿勒平面向量的线性运算、基本不等式，属于中档题.

解题思路

将式子往含有的式子上靠，得到，又可求得，最后利用基本不等式求得最小值.

易错点

平面向量的线性运算不扎实，推导不出式子.

题型：填空题

分值: 5分

12．若经过抛物线焦点的直线与圆相切，则直线的斜率为__________．

正确答案

解析

解：抛物线的焦点为，设直线的方程为，，即，直线与圆相切，，解得，故答案为.

考查方向

本题考查了点到直线的距离公式、切线定理，计算量不大，属于基础题.

解题思路

设直线方程，则圆心到直线的距离等于圆的半径，即，求得.

易错点

利用直线与圆相切条件时，联立方程令判别式等于零来求取斜率，这样计算量会大大增加从而容易出错.

题型：填空题

分值: 5分

14．函数，则__________．

正确答案

解析

解：

，，故答案为.

考查方向

本题主要考查分段函数的解析式、已知分段函数解析式求函数值，属于基础题.

解题思路

代入，得，代

即可求得答案.

易错点

不会逐层击破，看到类似问题无从下手.

简答题（综合题）本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

如图，在三棱柱中，底面，，为线段的中点．

18. （1）求证：直线平面；

19. （2）求三棱锥的体积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

解：连接交于点，连接，

在中，为中点，为中点，

所以，

又因为平面，

平面

所以平面.

考查方向

本题考查了线面平行的判定定理、三角形中位线性质，属于基础题.

解题思路

连接交于点，连结，根据中位线定理得出，根据线面平行的判定定理可得平面.

易错点

看到立体几何就想建立坐标系求解，显然这道题用几何法要比空间向量法要来得容易得多.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

解：因为底面，所以为三棱锥的高，

所以

考查方向

本题考查了三棱锥面积的求法，属于基础题.

解题思路

以作棱锥的底面，则为棱锥的高，根据棱锥的体积公式可得结果.

易错点

不知道变换底面和顶点.

题型：简答题

分值: 12分

已知正项数列满足，且．

20. （1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；

21. （2）设，求数列的前项和．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

解：∵，∴，∴

又，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列

∴，∴.

考查方向

本题考查了由递推关系式求数列通项、等差数列的通项公式，属于基础题.

解题思路

，两边取倒数可得，即，数列为等差数列，首项为，公差为，进而可得结果.

易错点

无法由递推关系式求得式子.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

解：由（1）知，

∴

考查方向

本题考查了利用裂项相消求数列前项和，有一定的计算量，属于中档题.

解题思路

，利用裂项相消法可得结果.

易错点

不会将通项式拆分为：.

题型：简答题

分值: 12分

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点，，，．

22. （1）求证：平面平面；

23. （2）若二面角大小为，求线段的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

解：∵，，为的中点，

∴四边形为平行四边形，∴

又∵，∴，即.

又∵平面平面，且平面平面

∴平面，∵平面，

∴平面平面.

考查方向

本题考查了平行四边形的判定定理及性质、面面垂直的判定定理，属于基础题.

解题思路

推导出四边形为平行四边形，从而.又.从而平面，根据面面垂直的判定定理可得平面平面；

易错点

无法推导出四边形为平行四边形.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

解：∵，为的中点，∴

∵平面平面，且平面平面

∴平面

如图，以为原点建立空间直角坐标系，

平面的法向量为

又，∴设，

又，设平面的法向量为

取

∵二面角为，∴

∴，∴线段的长为.

考查方向

本题考查了利用空间向量法求二面角、空间线段长度的求取，有一定的计算量属于中档题.

解题思路

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.利用空间向量夹角余弦公式可确定的位置，进而可得结果.

易错点

计算量很大，稍不注意就会出现计算错误.

题型：简答题

分值: 12分

已知椭圆C：的右焦点为，且点在椭圆C上．

24. ⑴求椭圆的标准方程；

25. 已知动直线过点且与椭圆C交于A、B两点．试问轴上是否存在定点Q,使得恒成立？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

解：由题意知，

根据椭圆的定义得：

即，

椭圆C的标准方程为

考查方向

本题考查了椭圆的基本性质及椭圆的第二定义，属于基础题.

解题思路

利用椭圆的定义求出的值，进而可求的值，即可得到椭圆的标准方程.

易错点

记不清椭圆中之间的数量关系.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

解：假设在轴上存在点，使得恒成立.

①当直线的斜率为0时，

则

解得，

②当直线的斜率不存在时，

则

解得，

③由①②可知当直线的斜率为0或不存在时，使得成立.

下面证明即时恒成立.

设直线的斜率存在且不为0，直线方程为

由，可得

∴

∵

∴

综上所述：在轴上存在点，使得恒成立.

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的关系、韦达定理、整体运算思想，计算量较大，属于难题.

解题思路

先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可.

易错点

在设直线方程的时候没有分类讨论斜率是否存在，是否为0.

题型：简答题

分值: 15分

的内角的对边分别为，已知．

16. 求；

17. （2）若的面积为，求的周长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解：解：

由正弦定理得：，

，∵

∴，∴，∵，∴．

考查方向

本题考查了正弦定理的应用和三角形内角和等于，属于基础题.

解题思路

根据正弦定理和三角形内角和定理，化简得，.

易错点

无法将式子简化为.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

解：由余弦定理得：，

，，，∴，

∴，，∴周长为．

考查方向

本题考查了余弦定理、三角形面积公式，属于基础题.

解题思路

利用三角形面积公式求得.利用余弦定理，求得，由此求得，.

易错点

不能利用三家形的面积公式得到式子.

题型：简答题

分值: 12分

已知函数，，，．

26. （1）讨论的单调性；

27. 若存在最大值，存在最小值，且，求证：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

解：由题意知，，，

时，，在递减，

时，令，令，

∴在递增，在递减.

考查方向

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求取单调区间，属于基础题.

解题思路

当求出函数的导数，解关于导函数的不等式，可求出函数的单调区间即可.

易错点

不对进行分类讨论.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

解：证明：，

时，恒成立，在递增，无最小值，

由（1）知，此时无最大值，故.

令，则，

∵，，

故存在唯一，使得，即，

列表如下：

由（1）得：

，，

由题意，即，将代入上式有：

化简得：（*）

构造函数，，

显然单调递增，且，，

则存在唯一，使得.

且时，，单调递减；时，，单调递增.

又，故只会在有解，

而

故（*）的解是，则.

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式的证明、分类讨论的思想，属于难题.

解题思路

求出的导数，构造函数求出的表达式，构造函数，根据函数的单调性证出结论.

易错点

无法构造出恰当的函数；分类讨论存在遗漏.

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易错点

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