• 理科数学 2013年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.若,则集合B的元素个数为(    )

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2.已知复数,则它的共轭复数等于(    )

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3.为了了解一片经济林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm)。所得数据如图,那么在这100株树木中,底部周长不小于110cm的有(    )株。

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4.将一颗骰子投掷两次分别得到点数,则直线与圆相交的概率为(    )

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5.某同学设计下面的程序框图用以计算和式的值,则在判断框中应填写(    )

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6.设为两个不重合的平面,为两条不重合的直线,现给出下列四个命题:

①若,则

②若,则

③若

④若

其中,所有真命题的序号是(    )

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7.设x,y满足约束条件的取值范围是(    )

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8.设函数的图象为曲线,动点在曲线上,过且平行于轴的直线交曲线于点可以重合),设线段的长为,则函数单调递增区间(     )


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9.如图,边长为1的正方形的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动,则的最大值是(      )


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10.已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是(    )

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11.已知,设平面上的个椭圆最多能把平面分成部分,则,…,,…  ,则(    )

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12.已知函数的图象与直线交于点P,若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为,则+…+的值为(    )

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13.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AC、BD相交于O,记△BCO、 △CDO、△ADO的面积分别为S1、S2、S3,则的取值范围是(    )

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14.若直角坐标平面内的两个不同点满足条件:

都在函数的图像上; 

关于原点对称。则称点对为函数的一对“友好点对”。

(注:点对为同一“友好点对”)

已知函数,此函数的“友好点对”有(     )

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简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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16. 如图,四棱锥中,底面为菱形,,平面底面分别是的中点。

(1)求证:平面

(2)上一动点,当平面时,求的值。

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17. 某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”:商场内所有商品按标价的八折出售,折后价格每满500元再减100元。如某商品标价为1500元,则购买该商品的实际付款额为1500×0.8-200=1000(元)。设购买某商品得到的实际折扣率=。设某商品标价为x元,购买该商品得到的实际折扣率为y。

(1)写出当x∈时,y关于x的函数解析式,并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率;

(2)对于标价在[2500,3500]的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到的实际折扣率低于

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18. 已知点是直角坐标平面内的动点,点到直线的距离为,到点的距离为,且

(1)求动点P所在曲线C的方程;

(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上),分别过A、B点作直线的垂线,对应的垂足分别为,试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况);

(3)记(A、B、是(2)中的点),问是否存在实数,使成立。若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。

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20.已知数列{an}的首项a1=a,Sn是数列{an}的前n项和,且满足:S=3n2an+S,an≠0,n≥2,n∈N*

(1)若数列{an}是等差数列,求a的值;

(2)确定a的取值集合M,使aM时,数列{an}是递增数列。

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22.如图,在四棱锥中,⊥底面,底面为梯形,,点在棱上,且

(1)求证:平面⊥平面

(2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值。

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23.某品牌汽车的4S店,对最近100位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如表所示:

(1)若以频率作为概率,求事件A:“购买该品牌汽车的3位顾客中,至多有1位彩用分3期付款”的概率P(A);

(2)4S店销售一辆该品牌的汽车,顾客分1期付款,其利润为1万元;分2期或3期付款,其利润为1.5万元;分4期或5期付款,其利润为2万元.用表示经销一辆该品牌汽车的利润,求的分布列及数学期望E

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15. 已知函数(其中的最小正周期为

(1)求的值,并求函数的单调递减区间;

(2)在锐角中,分别是角的对边,若的面积为,求的外接圆面积。

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19. 已知函数为正常数。

(1)若,且,求函数的单调增区间;

(2)若,且对任意,都有,求的的取值范围。

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21.选做题:在A、B、C、D四小题中只能选做2题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

B.(选修4-2:矩阵与变换)

二阶矩阵M有特征值λ=8,其对应的一个特征向量,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成点(-2,4),求矩阵

C.(选修4-4:坐标系与参数方程)

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x轴的正半轴重合,曲线C的极坐标系为,直线的参数方程为(t为参数,),试在曲线C上一点M,使它到直线的距离最大。


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