- 真题试卷
- 模拟试卷
- 预测试卷
1．两平面α、β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是( )
正确答案
解析
由α⊥β⇒u·v＝0⇒－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6，故选B.
考查方向
解题思路
根据向量的垂直运算可得u·v＝0，即可y＋z＝6.
易错点
向量的坐标运算、向量的垂直应用
4．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为( )
正确答案
解析
∵＝＋＝＋(＋)＝＋＋，又＝＋x＋y，∴x＝y＝.
考查方向
解题思路
根据正方体的性质表示出向量，再根据条件：＝＋x＋y，从而求出x、y的值。
易错点
向量平行四边形法则的应用，
6．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)且a·b＝2，则x的值是( )
正确答案
解析
∵a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，∴
考查方向
解题思路
根据向量的坐标运算即可求出x的值。
易错点
空间向量的坐标运算。
7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则
△BCD是( )
正确答案
解析
在△BCD中，由向量的运算法则可得：·＝(－)·(－)＝
考查方向
解题思路
判断三角形的形状有两种基本的方法看三角形的角看三角形的边，本题可用向量的夹角来判断三角形的角，通过向量数量积判断出∠B，∠C和∠D均为锐角故可判断出三角形形状。
易错点
平面向量数量积的运算及应用。
9．若向量a＝(2，3，λ)，b＝
正确答案
解析
∵a＝(2，3，λ)，b＝
∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴λ＝.
考查方向
解题思路
利用空间向量夹角公式把a，b的坐标代入计算，列出方程求出
易错点
空间向量的数量积运算。
10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为( )
正确答案
解析
以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则＝(－1，1，－1)，＝(－1，1，1)．可以证明A1C⊥平面BC1D，AC1⊥平面A1BD，∴和分别为平面BC1D和平面A1BD的法向量，又cos〈，〉＝，结合图形可知平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为，故选C
考查方向
解题思路
建立空间直角坐标系，找出平面BC1D和平面A1BD的法向量，根据向量的夹角公式求出法向量的夹角，从而求出二面角的余弦值。
易错点
二面角的平面角及求法，空间向量的运用。
2．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为( )
正确答案
解析
＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)， ∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝60°.
考查方向
解题思路
通过已知条件A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)求出＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)，再根据向量与的夹角公式求出余弦值，最终由余弦值得出向量与的夹角。
易错点
空间向量的坐标运算和向量夹角公式的运用。
3. 已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉等于( )
正确答案
解析
由已知得：
由①－②可得a·b＝b2，代入①可得a2＝b2，∴cos〈a·b〉＝＝.∴〈a，b〉＝60°.
考查方向
解题思路
根据向量垂直的运算，得出两组向量的数量积为0，整理关系式，用b来表示
易错点
向量的垂直运算，向量夹角公式的应用。
5．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的个数是( )
正确答案
解析
∵·＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB，①正确；∵·＝－4＋4＝0，∴AP⊥AD，②正确；由①②知是平面ABCD的法向量，∴③正确，④错误，故选C．
考查方向
解题思路
利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出。
易错点
向量共线与垂直的判断，向量的坐标运算。
8．正三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
正确答案
解析
延长CA到D，使得AD=AC，则
考查方向
解题思路
延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知
易错点
异面直线所成角的定义及求法。
12．已知＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为________．
正确答案
解析
∵Q在OP上，∴可设Q(x，x，2x)，则＝(1－x，2－x，3－2x)，＝(2－x，1－x，2－2x)．∴·＝6x2－16x＋10，∴x＝时，·最小，求得Q
考查方向
解题思路
根据向量
易错点
空间向量的数量积运算，共线向量性质的运用.
15.正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的余弦值为________．
正确答案
解析
取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的坐标系．
设BC＝1，则A(0，0，)，B(0，－，0)，D(，0，0)，则＝(0，0，)，＝(0，，)，＝(，，0)．
由于＝(0，0，)为平面BCD的法向量．
设平面ABD的法向量n＝(x，y，z)，则
取n＝(1，－，1)，
所以cos〈n，〉＝.
考查方向
解题思路
取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示空间直角坐标系，确定
易错点
正确建立空间坐标系，运用向量法求解二面角。
11．若a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
正确答案
2
解析
∵a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，
∴c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)．∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.
考查方向
解题思路
根据题目所给的条件a＝(1，1，x)和c＝(1，1，1)计算c－a＝(0，0，1－x)，由b＝(1，2，1)求出2b＝(2，4，2)，则(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，即可求出x＝2.
易错点
向量的四则运算和数量积计算。
13．平面α的法向量为m＝(1，0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1，1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为__________．
正确答案
60°或120°
解析
∵cos〈m，n〉＝＝＝－，∴〈m，n〉＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.
考查方向
解题思路
利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出。
易错点
平面的法向量的求解，二面角平面角的理解。
14．如图在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为________．
正确答案
解析
建立如图所示坐标系，则＝(－1，1，－2)，＝(0，2，－2)，
∴cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝.
考查方向
解题思路
通过建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，从而求出，的坐标，再利用向量的夹角公式求出夹角即可。
易错点
异面直线及其所成的角，应用空间向量求角。
如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD．
19.求异面直线BF与DE所成的角的大小；
20.证明：平面AMD⊥平面CDE
正确答案
60°
解析
如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB＝1，
依题意得B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，M
＝(－1，0，1)，＝(0，－1，1)，于是cos〈，〉＝
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.
考查方向
解题思路
建立合适的空间直角坐标系，求出各点的坐标，再通过已知点的坐标写出＝(－1，0，1)，＝(0，－1，1)，然后通过数量积计算，的夹角余弦值，最后由，的夹角余弦值得出异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.
易错点
向量数量积的运算，向量夹角公式的应用。
正确答案
详见解析
解析
证明：由＝
又AM∩AD＝A，故CE⊥平面AMD．而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
考查方向
解题思路
求出、、的坐标表示，通过计算得·＝0，·＝0可求证出CE⊥AM，CE⊥AD，再根据线面垂直的判定定理，即可得到CE⊥平面AMD，故平面AMD⊥平面CDE.
易错点
向量数量积的坐标运算，线面垂直判定定理的应用。
21.如图所示，在三棱锥S—ABC中，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点，求二面角A—SC—B的余弦值．
正确答案
解析
以O为坐标原点，射线OB，OA，OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设B(1，0，0)，则C(－1，0，0)，A(0，1，0)，S(0，0，1)，
SC的中点M
所以·＝0，·＝0.即MO⊥SC，MA⊥SC．
故〈，〉为二面角A—SC—B的平面角．
cos〈，〉＝
考查方向
解题思路
建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，向量的夹角公式求解出二面角。
易错点
平面法向量的求解，向量夹角公式的应用。
已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
16.求a和b的夹角θ的余弦值；
17.若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
正确答案
－
解析
由题意可知：a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)
∴ cos θ＝＝＝－，∴a与b的夹角θ的余弦值为－.
考查方向
解题思路
根据已知条件分别写出向量a和b的坐标表示，根据向量夹角公式求出a和b的夹角θ的余弦值为－。
易错点
向量坐标运算，向量夹角公式的应用。
正确答案
k＝－或k＝2
解析
由题意可知：ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，
∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10，解得k＝－或k＝2.
考查方向
解题思路
结合（1）题所知的条件，分别计算出ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，最后由向量的垂直关系可推出(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝0，即可求出k值。
易错点
向量的坐标运算，向量垂直关系的应用。
18.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB1⊥平面PAC．
正确答案
如图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为2，则A(2，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，O(1，1，0)．
于是＝(1，1，2)，＝(－2，2，0)，＝(－2，0，1)，
由于·＝－2＋2＋0＝0及·＝－2＋0＋2＝0.
∴⊥，⊥，又AC∩AP＝A，∴OB1⊥平面PAC．
考查方向
解题思路
建立空间直角坐标系，求出各点坐标，通过已知点的坐标值求出
＝(1，1，2)，＝(－2，2，0)，＝(－2，0，1)，根据·＝0，·＝0可得⊥，⊥，最后得出OB1⊥平面PAC．
易错点
空间向量的数量积运算、线面垂直判定定理的应用。
如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．
22.求证：平面PDC⊥平面PAD；
23.求点B到平面PCD的距离．
正确答案
详见解析
解析
证明：如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则依题意
可知A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(4，2，0)，D(4，0，0)，P(0，0，2)．
∴＝(4，0，－2)，＝(0，－2，0)，＝(0，0，－2)．
设平面PDC的一个法向量为n＝(x，y，1)，则
所以平面PCD的一个法向量为
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD．
∴平面PAD的法向量为＝(0，2，0)．
∵n·＝0，∴n⊥，∴平面PDC⊥平面PAD．
考查方向
解题思路
建立空间直角坐标系，分别计算平面PDC的一个法向量和平面PAD的法向量，通过计算两个平面法向量的夹角来判断两平面的位置关系。
易错点
正确求出两平面的法向量，向量夹角公式的应用。
正确答案
解析
解：由(1)知平面PCD的一个单位法向量为＝
∴
考查方向
解题思路
借助（1）所得出的结论，再利用点到平面的距离公式即可求出答案。
易错点
单位法向量和点到平面距离的综合应用。
如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2.
24.求证：AE∥平面DCF；
25.当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60°？
正确答案
详见解析
解析
建立如图所示空间直角坐标系，设AB＝a，BE＝b，CF＝c，则C(0，0，0)，D(0，0，a)，F(0，c，0)，A(，0，a)，E(，b，0)，B(，0，0)，
∵＝(，b，0)－(，0，a)＝(0，b，－a)，＝(0，0，a)，＝(0，c，0)；
设＝λ＋μ，则(0，b，－a)＝(0，μc，λa)，∴μ＝，λ＝－1，∴＝－＋，
又AE⊄平面DCF，∴AE∥面DCF.
考查方向
解题思路
建立空间直角坐标系，计算相关的向量的坐标，利用向量的线性运算进行即可证明。
易错点
建立适当的坐标系，线面平行判定定理的应用。
正确答案
60°
解析
∵＝(－，c－b，0)，＝(，b，0)且·＝0，||＝2.
所以解得b＝3，c＝4，
所以E(，3，0)，F(0，4，0)．设n＝(1，y，z)与平面AEF垂直，则n·＝0，n·＝0，
解得n＝(1，，)．
又∵BA⊥平面BEFC，＝(0，0，a)，∴cos〈n，〉＝
考查方向
解题思路
根据已经建立的坐标系，写出各向量的坐标，利用向量的夹角公式求解出两平面法向量的夹角，写出相关的表达式，即可求出结果。
易错点
向量夹角公式的应用，平面法向量的求解。