文科数学 热门试卷

（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，

由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，

在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，

由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，

由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；

（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，

则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．

（1）f′（x）=（x＞0），∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，

∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．

（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+，

∴=．

①当a时，则，则当x＞1时，f′（x）＞0，

∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，

∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即，

解得；

②当a＜1时，则，

则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；

当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．

∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，

而=+，不符合题意，应舍去．

③若a＞1时，f（1）=，成立．

综上可得：a的取值范围是．

（1）证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.

因为CA＝CB，

所以OC⊥AB.

由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，

故△AA1B为等边三角形，

所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面OA1C.

又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.

（2）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，

所以OC＝OA1＝.

又A1C＝，则A1C2＝OC2＋，

故OA1⊥OC.

因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．

又△ABC的面积S△ABC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.

（1）当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.

当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.

所以

（2）由（1）知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.

由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.

（1）由题设知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，

所以an＝3n－1，Sn＝＝(3n－1)．

（2）b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，

所以公差d＝5，

故T20＝20×3＋×5＝1 010.