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6．下列说法中不正确的个数是（ ）
①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件
②命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∃x0∈R，cosx0≥1”
③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．
正确答案
解析
解：对于①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，不是必要不充分条件，所以①不正确；
对于②命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∃x0∈R，cosx0≥1”，不满足命题的否定形式，所以②不正确；
对于③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．满足四种命题的逆否关系，正确；
故选：B．
考查方向
解题思路
利用充要条件判断①的正误；命题的否定判断②的正误；四种命题的逆否关系判断③的正误；
易错点
①易判断错误.
8．已知f（x）=2sin（2x+
Ax=
Bx=
Cx=
Dx=
正确答案
解析
解：f（x）=2sin（2x+
得到函数g（x）=2sin[2（x﹣
令2x﹣
故选：C．
考查方向
解题思路
由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．
易错点
平移时未提取系数2而致错.
10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由三视图可知几何体为直三棱柱切去一个三棱锥得到的四棱锥，直观图如图所示：
其中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2，AB⊥BC，
直三棱柱的高AA1=2，
∴四棱锥B﹣ACC1A1的体积V=V
故选A．
考查方向
解题思路
几何体为不规则放置的四棱锥，做出棱锥的直观图，利用作差法求出棱锥的体积即可．
易错点
不能作出直观图.
1．设复数z满足z（1+i）=2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（ ）
正确答案
解析
解：由z（1+i）=2，得
∴复数z的虚部是﹣1．
故选：B．
考查方向
解题思路
把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
易错点
把﹣i作为虚部.
2．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（ ）
正确答案
解析
解：全集U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，
N={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，
∴M∩N={x|0＜x＜1}≠M，A正确；
∁UN={x|x≤0或x≥1}，M∪（∁UN）=R=U，B正确；
M∩（∁UN）={x|x≤0}≠∅，C错误；
M⊆∁UN不成立，D错误．
故选：B．
考查方向
解题思路
根据题意求出集合M，化简集合N，再判断选项是否正确．
易错点
有些考生易把交集，并集弄混.
3．已知x，y满足约束条件
正确答案
解析
解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，
平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点B时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，
由
故选：A
考查方向
解题思路
作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．
易错点
不能找出最优解.
4．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）
Af（x）=2x
Bf（x）=xsinx
C
Df（x）=﹣x|x
正确答案
解析
解：A中f（x）非奇非偶；
B中f（x）是偶函数；
C中f（x）在（﹣∞，0）、（0，+∞）分别是减函数，
但在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不是减函数；
D中f（x）=
故选：D．
考查方向
解题思路
根据函数奇偶性和单调性的性质和定义进行判断即可．
易错点
利用定义判断奇偶函数的前提是函数定义域关于原点对称.
5．（2014•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（ ）
正确答案
解析
解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，
若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，
输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，
综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，
故选：D
考查方向
解题思路
根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．
易错点
不能找出正确规律而致错.
7．若（x6
正确答案
解析
解：由题意，（x6
令6n﹣
故选：C．
考查方向
解题思路
二项式的通项公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（
易错点
解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．
9．已知
且
正确答案
解析
解：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
∵
∵P点是△ABC所在平面内一点，且
∴
∴
∴
∵
∴
当且仅当t=
故选：B．
考查方向
解题思路
以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，推导出B（
P（1，1），从而
易错点
本题的关键是建立坐标系.
11．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是（ ）
A（0，
B（
C（0，
D（
正确答案
解析
解：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p，即
P（X=1）=p，
发球次数为2即二次发球成功的概率P（X=2）=p（1﹣p），
发球次数为3的概率P（X=3）=（1﹣p）2，
则Ex=p+2p（1﹣p）+3（1﹣p）2=p2﹣3p+3，
依题意有EX＞1.75，则p2﹣3p+3＞1.75，
解可得，p＞
结合p的实际意义，可得0＜p＜
故选C．
考查方向
解题思路
根据题意，首先求出X=1、2、3时的概率，进而可得EX的表达式，由题意EX＞1.75，可得p2﹣3p+3＞1.75，解可得p的范围，结合p的实际意义，对求得的范围可得答案．
易错点
本题考查期望的计算，注意解题的最后要结合概率的意义对求出的答案范围进行取舍．
12．已知函数f（x）=x3﹣6x2+9x，g（x）=
x1∈[0，4]，总存在x2∈[0，4]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（ ）
A（1，
B[9，+∞）
C
D
正确答案
解析
解：函数f（x）=x3﹣6x2+9x，导数为f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），
可得f（x）的极值点为1，3，
由f（0）=0，f（1）=4，f（3）=0，f（4）=4，
可得f（x）在[0，4]的值域为[0，4]；
g（x）=
导数为g′（x）=x2﹣（a+1）x+a=（x﹣1）（x﹣a），
当1＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当x＜1或x＞a时，g′（x）＞0，g（x）递增．
由g（0）=﹣
当3≤a≤4时，13﹣4a≤
g（x）在[0，4]的值域为[﹣
由对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈[0，4]，使得f（x1）=g（x2），
可得[0，4]⊆[﹣
即有4≤
当1＜a＜3时，13﹣4a＞
g（x）在[0，4]的值域为[﹣
由题意可得[0，4]⊆[﹣
即有4≤13﹣4a，解得a≤
当a＞4时，可得g（1）取得最大值，g（4）＜﹣3为最小值，
即有[0，4]⊆[13﹣4a，
可得13﹣4a≤0，4≤
解得a≥9．
综上可得，a的取值范围是（1，
故选：C．
考查方向
解题思路
求出f（x）的导数，可得极值点，分别求出f（0），f（1），f（3），f（4），可得值域；再求g（x）的导数，可得极值点，求出g（0），g（1），g（a），g（4），讨论a的范围，分a＞4，1＜a＜3，3≤a≤4，比较可得值域，再由题意可得f（x）的值域包含于g（x）的值域，得到不等式，解不等式即可得到所求范围．
易错点
本题考查任意性和存在性问题的解法，注意运用转化思想，转化为值域的包含关系.
13．若等比数列{an}的前n项和为Sn，
正确答案
1或
解析
解：∵
∴a1+a2+a3=
∴
解得q=1或
故答案为：1或
考查方向
解题思路
根据等比数列的前n项和建立等式，利用a3和q表示出a1与a2，然后解关于q的一元二次方程，即可求出所求．
易错点
不会将首项和第二项转化为q的关系式而无从下手.
15．已知tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，则tan（α+β）= ．
正确答案
1
解析
解：由题意lg（6x2﹣5x+2）=0，
可得6x2﹣5x+1=0，tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，
∴tanα+tanβ=
∴tan（α+β）=
故答案为：1．
考查方向
解题思路
由条件利用一元二次方程根与系数的关系可得tanα+tanβ和tanα•tanβ的值，从而求得 tan（α+β）的值．
易错点
根与系数关系及两角和的正确公式的熟记.
14．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人 来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 ．
正确答案
解析
解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，
∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，
∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
故答案为
考查方向
解题思路
求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．
易错点
不能理解至少需要等待15秒才出现绿灯的含义.
16．若偶函数y=f（x），x∈R，满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2]时，
f（x）=2﹣x2，则方程f（x）=sin|x|在[﹣10，10]内的根的个数为 ．
正确答案
10
解析
解：∵函数y=f（x）为偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），
∴偶函数y=f（x）为周期为4的函数，
由x∈[0，2]时f（x）=3﹣x2可作出函数f（x）在[﹣10，10]的图象，
同时作出函数y=sin|x|在[﹣10，10]的图象，交点个数即为所求．
数形结合可得交点个为10，
故答案为：10．
考查方向
解题思路
由题意可得偶函数y=f（x）为周期为4的函数，f（x）=sin|x|是偶函数，作出函数的图象，的交点的个数即为所求．
易错点
将方程转化为两个函数，作出函数图象是本题的关键.
在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．
24. （Ⅰ）证明：PC⊥BD
25. （Ⅱ）若E是PA的中点，且△ABC与平面PAC所成的角的正切值为
正确答案
】证明：（Ⅰ）因为底面是菱形，所以BD⊥AC．（1分）
又PB=PD，且O是BD中点，所以BD⊥PO．（2分）
PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC．（3分）
又PC⊂面PAC，所以BD⊥PC．（4分）
正确答案
（Ⅱ）
解析
证明：
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，OE是BE在面PAC上的射影，
所以∠OEB是BE与面PAC所成的角．
在Rt△BOE中，
在Rt△PEO中，
所以
所以PO2+AO2=PA2，所以PO⊥AO．（6分）
又PO⊥BD，BD∩AO=O，所以PO⊥面ABCD．（7分）
方法一：
过O做OH⊥EC于H，由（Ⅰ）知BD⊥面PAC，所以BD⊥EC，所以EC⊥面BOH，BH⊥EC，
所以∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．（9分）
在△PAC中，
所以
方法二：
如图，以
设面BEC的法向量为
即
即
又面AEC的一个法向量为
所以
考查方向
解题思路
（Ⅰ）证明BD⊥AC，BD⊥PO，推出BD⊥面PAC，然后证明BD⊥PC．
（Ⅱ）说明OE是BE在面PAC上的射影，∠OEB是BE与面PAC所成的角．利用Rt△BOE，在Rt△PEO中，证明PO⊥AO．推出PO⊥面ABCD．
方法一：说明∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．通过求解三角形求解二面角A﹣EC﹣B的余弦值．
方法二：以
易错点
建立合适的空间直角坐标系.
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）
17. （Ⅰ）求角C；
18. （Ⅱ）若c=
正确答案
（Ⅰ）
解析
解：（Ⅰ）由已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）
由正弦定理，得a（a﹣b）=（c﹣b）（c+b），（2分）
即a2+b2﹣c2=ab．（3分）
所以cosC=
又C∈（0，π），所以C=
解题思路
（Ⅰ）由已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）利用正弦定理，得a（a﹣b）=（c﹣b）（c+b），即a2+b2﹣c2=ab．再利用余弦定理即可得出．
正确答案
（Ⅱ）5+
解析
解：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2+b2﹣c2=ab．所以（a+b）2﹣3ab=c2=7，（8分）
又S=
所以ab=6，（9分）
所以（a+b）2=7+3ab=25，即a+b=5．（11分）
所以△ABC周长为a+b+c=5+
考查方向
解题思路
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2+b2﹣c2=ab．变形为（a+b）2﹣3ab=c2=7，又S=
易错点
公式的熟记与灵活应用是关键.
设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=﹣1+2an
19. （Ⅰ）求{an}的通项公式；
20. （Ⅱ）若bn=log2an+1，且数列{bn}的前n项和为Tn，求
正确答案
（Ⅰ）
解析
解：（Ⅰ）由已知，有Sn=﹣1+2an，①
当n=1时，a1=﹣1+2a1，即a1=1．
当n≥2时，Sn﹣1=﹣1+2an﹣1，②
①﹣②得an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，即an=2an﹣1（n≥2）．
∴{an}是2为公比，1为首项的等比数列，即
解题思路
（Ⅰ）由数列递推式求出首项，进一步得当n≥2时，Sn﹣1=﹣1+2an﹣1，与原递推式联立可得an=2an﹣1（n≥2），即{an}是2为公比，1为首项的等比数列，再由等比数列的通项公式求得{an}的通项公式；
正确答案
（Ⅱ）
解析
解：
由（Ⅰ），得
∴
∴
=
考查方向
解题思路
（Ⅱ）把数列通项公式代入bn=log2an+1，求出数列{bn}的前n项和为Tn，再由裂项相消法求
易错点
由
某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N（168，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
21. （Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；
22. （Ⅱ）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；
23. （Ⅲ）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
参考数据：若ξ﹣N（μ，σ2），则p（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，p（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，p（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．
正确答案
（Ⅰ）经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168;
解析
解：（Ⅰ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为
高于全市的平均值168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168）．…（4分）
解题思路
（I）高三男生的平均身高用组中值×频率，即可得到结论；
正确答案
（Ⅱ）10人
解析
解：（Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为（0.02+0.02+0.01）×4=0.2，人数为0.2×5=10，即这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人数为10人．…（6分）
解题思路
（II）首先理解频数分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即：每组中包含个体的个数．我们可以依据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数．
正确答案
（Ⅲ）
解析
解：
（Ⅲ）∵P（168﹣3×4＜ξ≤168+3×4）=0.9974，∴
所以，全市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人．
随机变量ξ可取0，1，2，于是
∴
考查方向
解题思路
（III）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在172cm以上，这50人中172cm以上的有2人，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．
易错点
正确理解频数分布直方图横纵轴表示的意义，由频数分布直方图可以得到什么结论是学习中需要掌握的关键．
[选修4-5：不等式选讲]
已知f（x）=|x﹣a|+|x﹣1
30. （Ⅰ）当a=2，求不等式f（x）＜4的解集；
31. （Ⅱ）若对任意的x，f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）{x|﹣
解析
解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）＜4，即|x﹣2|+|x﹣1|＜4，
可得
解得：﹣
正确答案
（Ⅱ）（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
解析
解：
（Ⅱ）∵|x﹣a|+|x﹣1|≥|a﹣1|，当且仅当（x﹣a）（x﹣1）≤0时等号成立，
由|a﹣1|≥2，得a≤﹣1或a≥3，
即a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
考查方向
解题思路
（Ⅰ）将a的值带入，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）根据绝对值的性质得到关于a的不等式，解出即可．
易错点
（Ⅱ）中三角不等式的应用,
已知函数f（x）=（x﹣1）ex+ax2有两个零点．
26. （Ⅰ）求a的取值范围；
27. （Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明x1+x2＜0．
正确答案
（Ⅰ）（0，+∞）
解析
本小题满分12分）
（Ⅰ）f'（x）=xex+2ax=x（ex+2a）（1分）
（i）当a＞0时，
函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增． （2分）
∵f（0）=﹣1＜0，f（2）=e2+4a＞0，
b满足b＜﹣2且b＜lna，则f（b）＞a（b﹣1）+ab2=a（b2+b﹣1）＞a（4﹣2﹣1）＞0，
（3分）
所以f（x）有两个零点． （4分）
（ii）若a=0，则f（x）=（x﹣1）ex，故f（x）只有一个零点．
（iii）若a＜0，由（I）知，
当
当
综上所述，a的取值范围是（0，+∞）． （7分）
正确答案
证明：（Ⅱ）不妨设x1＜x2．
由（Ⅰ）知x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，+∞），﹣x2∈（﹣∞，0），则x1+x2＜0等价于x1＜﹣x2．
因为函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，
所以x1＜﹣x2等价于f（x1）＞f（﹣x2），即证明f（﹣x2）＜0．（8分）
由
令g（x）=（﹣x﹣1）e﹣x+（1﹣x）ex，x∈（0，+∞）．（10分）
g'（x）=﹣x（e﹣x+ex）＜0，g（x）在（0，+∞）单调递减，又g（0）=0，
所以g（x）＜0，
所以f（﹣x2）＜0，即原命题成立．（12分）
考查方向
解题思路
（Ⅰ）求出f'（x）=xex+2ax=x（ex+2a），通过（i）当a＞0时，判断函数的单调性，判断零点个数；（ii）若a=0，判断f（x）只有一个零点．（iii）若a＜0，利用单调性判断零点个数即可．
（Ⅱ）不妨设x1＜x2．推出x1＜﹣x2．利用函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，证明f（﹣x2）＜0．令g（x）=（﹣x﹣1）e﹣x+（1﹣x）ex，x∈（0，+∞）．
利用g'（x）=﹣x（e﹣x+ex）＜0，转化证明即可．
易错点
由a的不同范围考查零点个数.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
ρsin（θ+
28. （Ⅰ）直接写出C1的普通方程和极坐标方程，直接写出C2的普通方程；
29. （Ⅱ）点A在C1上，点B在C2上，求|AB|的最小值．
正确答案
（Ⅰ）ρ=﹣4cosθ, x+y﹣4=0
解析
解：（Ⅰ）由
C1的极坐标方程为ρ=﹣4cosθ，
由ρsin（θ+
即
得x+y﹣4=0．
正确答案
（Ⅱ）
解析
解：
（Ⅱ）C1是以点（﹣2，0）为圆心，半径为2的圆，C2是直线．
圆心到直线C2的距离为
∴|AB|的最小值为
考查方向
解题思路
（Ⅰ）把圆C1的参数方程变形，两式平方作和可得普通方程，进一步求得极坐标方程，展开两角和的正弦，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的普通方程；
（Ⅱ）由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，可得直线和圆相离，由点到直线的距离减去圆的半径求得|AB|的最小值．
易错点
（Ⅱ）先判断出直线和圆相离，再由点到直线的距离减去圆的半径求得|AB|的最小值．