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1.已知集合,
,则
正确答案
解析
或
,
,
,选
.
考查方向
解题思路
解一元二次不等式求出集合,解含绝对值不等式解出
,根据交集的概念求出两个集合的交集.
易错点
解一元二次不等式以及交集符号的识别.
7.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为,
,
,
,
[27.5,30]. 根据直方图,若这200名学生中每周的自习时间不超过
小时的人数为164,则
的值约为
正确答案
解析
的频数为
,
的频数为
,
的频数为
,
的频数为
,
则,选
.
考查方向
解题思路
利用统计基础知识求解.
易错点
的确定.
【命题意图】本题考查统计的基础知识,难度:中等题.
9.已知实数x, y满足,若
的最大值为1,则m的值为
正确答案
解析
如图,可行域为:
,
当取得最大值时,
,
又,联立
解得
,且
恒过定点
,即
,选
.
考查方向
解题思路
画出可行域解答即可.
易错点
根据题意画出图形.
10.已知△的顶点都在半径为
的球
的球面上,球心
到平面
的距离为
,
,则球
的体积是
正确答案
解析
设外接圆半径为
,球的半径为
,则
,
由,选
.
考查方向
解题思路
利用正弦定理求出外接圆半径
,根据题意列出关系式求出球的半径,根据球的体积公式求解.
易错点
正弦定理的应用、球体积和表面积公式混淆.
2.已知向量,
,
,若实数
满足
,则
正确答案
解析
,
,
,选
.
考查方向
解题思路
先求坐标,利用向量相等列出关系式,求出
即可.
易错点
相等向量条件的利用.
3.欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,
表示的复数在复平面中对应的点位于
正确答案
解析
复平面内对应点坐标为
,
,故
复平面内对应点位于第三象限,选
.
考查方向
解题思路
根据题目信息写出,通过判断
所在象限判断正余弦的正负,从而判断复平面对应点所在象限..
易错点
对信息的接收理解,三角函数基本知识的应用.
4.已知命题函数
是奇函数,命题
函数
在区间
上单调递增.则下列命题中为真命题的是
正确答案
解析
定义域为
,关于原点对称,
,故
为奇函数,故
为真命题,
为假命题;
,令
解得
或
,
故函数增区间为,故
为假命题,
为真命题,故
为真命题,选
.
考查方向
解题思路
利用奇偶性的定义判断为奇函数,对
求导求其增区间.
易错点
命题真假性的判断.
5.执行如图所示的程序框图,若输出的值为,则输入的整数
正确答案
解析
成立,
,
成立,
,,
成立,,
,
成立,
,
成立,
,
不成立,
输出,故
,选
.
考查方向
解题思路
运行程序框图,直至得到输出结果为止,判断出的值.
易错点
对的值的判断.
6.已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为
正确答案
解析
二项式奇数项的系数和为
,选
.
考查方向
解题思路
利用二项式的性质求出,利用二项式定理求出奇数项的二项式系数和.
易错点
利用二项式的性质求出.
第7题图
8.已知等比数列的前项和
,则
等于
正确答案
考查方向
11.过双曲线的右焦点
作直线
的垂线,垂足为
,交双曲线的左支于
点,若
,则该双曲线的离心率为
正确答案
解析
设,则直线
方程为:
,代入到双曲线渐近线方程
得:
,由
,可得
,将
坐标代入到双曲线方程
中,
即,整理得
,即
,选
.
考查方向
解题思路
根据题意求出坐标,将
坐标代入到双曲线方程,整理即可.
易错点
双曲线的基本运算.
12.定义在的函数
的导函数
满足
,且
,则不等式
的解集为
正确答案
解析
由条件知,令
,则
,故
在
上是增函数,
,又
,从而
,即
,选
.
考查方向
解题思路
根据题意构造函数,得到函数单调性,故而得到关系式即可求解.
易错点
函数性质的应用.
15.已知函数,
,
的部分图象如上图所示,则
________.
正确答案
解析
由图象,又
,
再由
考查方向
解题思路
根据三角函数的性质求得相关量
易错点
根据三角函数的性质求得相关量
13.过抛物线焦点的直线交抛物线于A,B两点,若AB的中点M到该抛物线准线的距离为5,则线段AB的长度为_______.
正确答案
10
解析
根据抛物线的定义可知,到准线的距离等于它到焦点的距离,
到准线的距离等于它到焦点的距离,故
.
考查方向
解题思路
利用抛物线的定义求解.
14.一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为________.
正确答案
解析
依题,几何体的直观图为:
,
连接,则几何体的体积
.
考查方向
解题思路
根据三视图,画出几何体的直观图,将几何体分为四棱锥和三棱锥两部分,按照棱锥的体积公式求解.
易错点
将三视图还原成直观图.
16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次“扩展”. 将数列1,2进行 “扩展”,第一次得到数列1,2,2;第二次得到数列1,2,2,4,2;…. 设第次“扩展”后所得数列为,并记
,则数列
的通项公式为__________.
正确答案
解析
考查方向
解题思路
根据题设中信息得到数列,代入到中整理即可.
易错点
根据信息整理式子
已知△的内角
所对的边分别为
,且
.
17.若△为锐角三角形,求
的取值范围;
18.若,
,求△
的面积.
正确答案
解析
由正弦定理可得,,因为
为锐角三角形,所以
,
进而可知,,即
的取值范围是
;
分
考查方向
解题思路
应用正弦定理求解.
易错点
正弦定理的应用
正确答案
解析
由17可知,,所以
,
由余弦定理可知,,即
,
∵,∴
为锐角,解得
,所以
,
从而的面积为
分
考查方向
解题思路
根据余弦定理求出,最后利用三角形面积公式求解.
易错点
余弦定理、三角形面积公式的应用
如图,四棱柱中,
底面
,四边形
为梯形,
,且
,
为
的中点,过
三点的平面记为
.
21.证明:平面与平面
的交线平行于直线
;
22.若,
,求平面
与底面
所成二面角的大小.
正确答案
详见解析
解析
如图,延长,
交于点
,
因为,且
,所以
,又
为
的中点,所以
三点共线,此时平面
与平面
的交线为
,
又平面平面
,根据面面平行的性质定理可得,平面
与平面
的交线平行于直线
.
分
考查方向
解题思路
做出辅助线,判断出三点共线,再利用面面平行的性质定理进行判定.
易错点
空间几何体的线面位置关系
正确答案
解析
在梯形中,由题意可计算出,
,
,
,
进而可计算,
,说明梯形
是等腰梯形,所以有
,
进一步可知为等边三角形,连接
、
,则
,又
,所以
,此时
就是平面
与底面
所成二面角的平面角,在直角
中,
,所以
,即平面
与底面
所成二面角的大小为
.
分
考查方向
解题思路
找出二面角的平面角再进行求解.
易错点
空间角的计算
平面直角坐标系中,过椭圆
:
(
)焦点的直线
交
于
两点,
为
的中点,且
的斜率为9.
23.求的方程;
24.是
的左、右顶点,
是
上的两点,若
,求四边形
面积的最大值.
正确答案
解析
设,
,则
,
,
,
由此可得,因为
,
,
,所以
,
又由题意知,的一个焦点为
,故
.因此
,
,
所以的方程为
.
分
考查方向
解题思路
将点设出并代入,整理即可.
易错点
计算易出错
正确答案
解析
由题意可设直线的斜率为,所以直线
的方程为
,
联立方程组可得,
,所以有
,进而可得
,所以
,
同理可计算出,
所以四边形面积
,
设,令
(
),所以
,此时
,当且仅当
时取得等号,
所以四边形面积的最大值为
.
分
考查方向
解题思路
设出直线方程,联立,利用韦达定理得到关系式,再由已知条件得到关系式整理,
最后利用不等式得到结论.
易错点
计算容易出错
某理财公司有两种理财产品和
.这两种理财产品一年后盈亏的情况如下(每种理财产品的不同投资结果之间相互独立):
产品 产品
(其中
)
19.已知甲、乙两人分别选择了产品和产品
进行投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于
,求
的取值范围;
20.丙要将家中闲置的10万元钱进行投资,以一年后投资收益的期望值为决策依据,在产品和产品
之中选其一,应选用哪个?
正确答案
解析
记事件为 “甲选择产品
且盈利”,事件
为“乙选择产品
且盈利”,事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”,
,
所以 ,所以
.
又因为,所以
.所以
.
分
考查方向
解题思路
根据题意找出关系式,求P的范围
易错点
概率的计算
正确答案
解析
假设丙选择产品进行投资,且记
为获利金额(单位:万元),所以随机变量
的分布列为:
则.
假设丙选择产品进行投资,且记
为获利金额(单位:万元),所以随机变量
的分布列为:
则.
当时,
,选择产品
和产品
一年后投资收益的数学期望相同,可以在产品
和产品
中任选一个;
当时,
,选择产品
一年后投资收益的数学期望大,应选产品
;
当时,
,选择产品
一年后投资收益的数学期望大,应选产品
.
分
考查方向
解题思路
根据数据求随机变量的分布列与期望.
易错点
求随机变量的分布列与期望
已知函数(
).
25.当时,判断函数
的零点个数;
26.若,求
的最大值.
正确答案
解析
当时,
,定义域为
,
当时,
,所以函数
在
内无零点;
当时,
,因为
,
,所以
,说明函数
在
上单调递减,又
,当
时,
,所以函数
在
内有且只有一个零点;
综上,函数的零点个数是1.
分
考查方向
解题思路
求导,根据的不同范围进行分类讨论.
易错点
求导,零点个数的判断
正确答案
解析
若,即
,设
,
若,则当
时,显然
,故不符合题意,所以
.………………7分
(
),
当时,
,所以
在
上单调递增;
当时,
,所以
在
上单调递减;
从而,
由题意可知,所以
,
此时,令
,
,
可知在
上单调增,在
上单调减,
所以,故
的最大值为
.
分
考查方向
解题思路
构造新函数,求导讨论单调性,进而求出最值.
易错点
对函数求导,利用导数讨论函数单调性
设函数(
).
29.试比较与
的大小;
30.当时,求函数
的图象和
轴围成的图形面积.
正确答案
解析
因为,于是
.
当且仅当时等号成立
分
考查方向
解题思路
根据不等式的性质对式子整理变形.
易错点
不等式性质的应用
正确答案
解析
当时,
可知函数的图象和
轴围成的图形是一个三角形,其中与
轴的两个交点分别为
,
,三角形另一顶点坐标为
,从而
面积为
.
分
考查方向
解题思路
将函数整理成分段函数性质,利用函数图象求解.
易错点
绝对值函数图象特征等基础知识,以及分类讨论思想和运算求解能力
已知曲线的参数方程为
(为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
:
.
27.求曲线的普通方程和
的直角坐标方程;
28.若与
相交于
两点,设点
,求
的值.
正确答案
解析
(
为参数)
,
所以曲线的普通方程为
.
,
所以的直角坐标方程为
.
分
考查方向
解题思路
根据参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化方法运算即可.
易错点
参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化
正确答案
解析
由题意可设,与两点对应的参数分别为
,
将的参数方程代入
的直角坐标方程
,
化简整理得,,所以
,
所以,
因为,所以
,
所以
分
考查方向
解题思路
将的参数方程代入
的直角坐标方程
,建立关系式整理.
易错点
直线与椭圆的位置关系的利用