理科数学 日照市2015年高三试卷
精品
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单选题 本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.已知函数f(x)=则f(x)-f(-x)>-1的解集为(  )

A(-∞,-1)∪(1,+∞)

B∪(0,1]

C(-∞,0)∪(1,+∞)

D∪(0,1)

正确答案

B

解析

当0<x≤1时,-1≤-x<0,此时,f(x)=-x+1,f(-x)=-(-x)-1=x-1,

∴f(x)-f(-x)>-1化为-x+1-(x-1)>-1,解得x<,则0<x≤1.

故所求不等式的解集为∪(0,1].   B正确

方法二:画出函数f(x)=的图象如图所示.

由图可知f(x)为奇函数,从而由f(x)-f(-x)>-1,可知f(x)>,解得

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.由曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为(  )

A

B4

C

D6

正确答案

C

解析

知识点

直线和圆的方程的应用
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.已知函数f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg 2))=(  )

A3

B4

C-5

D-1

正确答案

A

解析

因为log10与lg 2(即log2)互为倒数,

所以lg(log10)与lg(lg 2)互为相反数.不妨令lg(log10)=x,则lg(lg 2)=-x,而f(x)+f(-x)=(ax+bsin x+4)+[a(-x)+bsin(-x)+4]=8,故f(-x)=8-f(x)=8-5=3,故选A.

知识点

对数函数的定义
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知a∈R,b∈R,若两集合相等,即={a2,a+b,0},则a2014+b2014=(        )

A1

B-1

C0

D2

正确答案

A

解析

由已知得=0及a≠0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1.又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2014+b2014=(-1)2014=1.故选A

知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.下列命题中为真命题的是(  )

A∀x∈R,x2+2x+1=0

B∃x0∈R,

C∀x∈N*,log2x>0

D∃x0∈R,cos x0>x+2x0+3

正确答案

B

解析

对于A,当x=1时,x2+2x+1≠0,故A错;

对于B,当x0=1时,,故B正确;

对于C,当x=1时,log2x=0,故C错;

对于D,x+2x0+3=(x0+1)2+2≥2,故D错.

知识点

幂函数的图像
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.设,则(        )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由已知,且, 而<1,所以c<a<b

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.已知命题p:∃x∈R,x2-3x+3≤0,则下列说法正确的是  (     )

A:∃x∈R,,且为真命题

B:∃x∈R,,且为假命题

C:∀x∈R,,且为真命题

D:∀x∈R,,且为假命题

正确答案

C

解析

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的(  )

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

C

解析

当a=0时,f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间(0,+∞)上单调递增;

当a<0时,结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0,+∞)上单调递增,如图(1)所示:

当a>0时,结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax-x|的图象知函数在(0,+∞)上先增后减再增,不符合条件,如图(2)所示.

所以,要使函数f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)上单调递增只需a≤0.

即“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)上单调递增”的充要条件.

知识点

命题的否定
1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为(  )

A(1,3)

B(0,3)

C(0,2)

D(0,1)

正确答案

D

解析

画出函数f(x)的图象如图所示,

观察图象可知,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则函数y=f(x)的图象与直线y=a有3个不同的交点,此时需满足0<a<1,故选D.

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.设函数,g(x)=+b+c,如果函数g(x)有5个不同的零点,则(     )

Ab<-2且c>0

Bb>-2且c<0

Cb<-2且c=0

Db≥-2且c>0

正确答案

C

解析

知识点

函数单调性的性质
填空题 本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

11.若函数的导函数,则函数的单调减区间是(  ).

正确答案

(0,2)

解析

知识点

简单复合函数的导数
1
题型:填空题
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分值: 5分

15.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=1-x,则:

①2是函数f(x)的周期;

②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;

③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;

④当x∈(3,4)时,f(x)=x-3

其中所有正确命题的序号是(   )

正确答案

①②④

解析

由已知条件:f(x+2)=f(x),

则y=f(x)是以2为周期的周期函数,①正确;当-1≤x≤0时0≤-x≤1,

f(x)=f(-x)=1+x

函数y=f(x)的图像如图所示:

当3<x<4时,-1<x-4<0,

f(x)=f(x-4)=x-3,因此②④正确,③不正确.答案:①②④

知识点

指数函数的图像变换
1
题型:填空题
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分值: 5分

12.若(a+1)<(3-2a),则a的取值范围是(   )

正确答案

解析

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知识点

画函数的图象
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.当x∈(1,2)时,不等式(x-1)<logx恒成立,则实数a的取值范围为(   ).

正确答案

{a|1<a≤2}

解析

设y=(x-1)2,y=logax.在同一坐标系中作出它们的图象,如图所示.

若0<a<1,则当x∈(1,2)时,(x-1)2<logax是不可能的,所以a应满足

解得1<a≤2.所以,a的取值范围为{a|1<a≤2}.

知识点

指数函数的单调性与特殊点
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,.若“”是假命题,则的取值范围为(   ).

正确答案

解析

知识点

导数的乘法与除法法则
简答题(综合题) 本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

17.已知函数f(x)=ax+x2-xln a-b(a,b∈R,a>1),e是自然对数的底数.

(1)试判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;

(2)当a=e ,b=4时,求整数k的值,使得函数f(x)在区间(k,k+1)上存在零点。

正确答案

解:(1)f′(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a.

∵a>1,∴当x∈(0,+∞)时,ln a>0,ax-1>0,

∴f′(x)>0,

∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.

(2)∵f(x)=ex+x2-x-4,∴f′(x)=ex+2x-1,

∴f′(0)=0,

当x>0时,ex>1,∴f′(x)>0,

∴f(x)是(0,+∞)上的增函数;

同理,f(x)是(-∞,0)上的减函数.

又f(0)=-3<0,f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,

当x>2时,f(x)>0,

∴当x>0时,函数f(x)的零点在(1,2)内,

∴k=1满足条件;

f(0)=-3<0,f(-1)=-2<0,

f(-2)=+2>0,

当x<-2时,f(x)>0,

∴当x<0时,函数f(x)的零点在(-2,-1)内,

∴k=-2满足条件.

综上所述,k=1或-2.

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知识点

指数函数的图像变换
1
题型:简答题
|
分值: 12分

18.函数f(x)=ln x-

(1)当a=-2时,求f(x)的最小值;

(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值。

正确答案

(1)当a=-2时,f(x)=,f′(x)=

当x∈(0,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,

∴f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数.

∴f(x)min=f(2)=ln 2+1.

(2)f′(x)=

①当a≥-1时,对任意x∈[1,e],

f′(x)≥0,此时f(x)在[1,e]上为增函数,∴f(x)min=f(1)=-a=

∴a= (舍).

②当a≤-e时,对任意x∈[1,e],

f′(x)≤0,此时f(x)在[1,e]上为减函数.∴f(x)min=f(e)=1-.

∴a= (舍).

③当-e<a<-1时,令f′(x)=0,得x=-a,当1<x<-a时,f′(x)<0,

f(x)在(1,-a)上递减.同理,f(x)在(-a,e)上递增.∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=

∴a=-.综上,a=-.

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指数函数的单调性与特殊点
1
题型:简答题
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分值: 13分

20.设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0
  (1)如果函数f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数b的取值范围;
  (2)求证对任意的n∈N*不等式ln(+1) >都成立。

正确答案

(1)由题意f′(x)=2x+=0在(-1,+∞)有两个不等实根, 

即2x2+2x+b=0在(-1,+∞)有两个不等实根,

设g(x)=2x2+2x+b,则

△=4−8b>0且g(−1)>0,

0<b<

(2)对于函数f(x)=x2-ln(x+1),令函数h(x)=x3-f(x)=x3-x2+ln(x+1)
  则h′(x)=3x2−2x+

当x∈[0,+∞)时,h'(x)>0,
  所以函数h(x)在[0,+∞)上单调递增,
  又h(0)=0,∴x∈(0,+∞)时,恒有h(x)>h(0)=0
  即x2<x3+ln(x+1)恒成立.取x=∈(0,+∞),
  则有ln(+1) >恒成立.

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指数函数的单调性与特殊点
1
题型:简答题
|
分值: 12分

16.已知命题:任意,有,命题:存在,使得.若“为真”,“为假”,求实数的取值范围.

正确答案

解:p真,任意,有

恒成立,

则a≤1                     
      q真,则△=(a-1)2-4>0,即a>3或a<-1    
      ∵“p或q”为真,“p且q”为假,∴p,q中必有一个为真,另一个为假
      当p真q假时,有得-1≤a≤1 
      当p假q真时,得a>3

∴实数a的取值范围为-1≤a≤1或a>3

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知识点

函数的最值及其几何意义
1
题型:简答题
|
分值: 12分

19.已知函数f(x)=lg[],设命题p:“f(x)的定义域为R”;命题q:“f(x)的值域为R”

(1)分别求命题p、q为真命题时实数a的取值范围;

(2) 是q的什么条件?请说明理由。

正确答案

(1)命题为真,即的定义域是,等价于恒成立,

等价于

解得.∴实数的取值范围为,,

命题为真,即的值域是, 等价于的值域,

等价于

解得.∴实数的取值范围为,

(2)由(1)知,:;:.

,∴的必要而不充分的条件

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知识点

幂函数的图像
1
题型:简答题
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分值: 14分

21.已知函数在[1,+∞)上为增函数,且θ∈(0,π),,m∈R

(1)求θ的值;

(2)若在[1,+∞)上为单调函数,求m的取值范围;

(3)设,若在[1,e]上至少存在一个,使得成立,求的取值范围。

正确答案

(1)由题意,≥0在上恒成立,

∵θ∈(0,π),

.故上恒成立,

只须,即,只有

结合θ∈(0,π),得

(2)由(1),得

在其定义域内为单调函数,

或者在[1,+∞)恒成立.

 等价于

,(max=1,

等价于

在[1,+∞)恒成立,

∈(0,1],

综上,m的取值范围是

(3)构造

时,

所以在[1,e]上不存在一个,使得成立.

时,

因为,所以

所以恒成立.

上单调递增, 

F(x) min =F(1)= -2e<0,   

,只要

解得

的取值范围是

解析

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知识点

简单复合函数的导数

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