理科数学 热门试卷

2

15

(Ⅰ)依题意得，·2a·2b＝，又，由此解得a＝2，b＝ 所以椭圆E的方程为 ＝1.

(Ⅱ)点B在以MN为直径的圆内．证明如下：

方法1：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0)．设．

∵M点在椭圆上，∴．　

①

又点M异于顶点A、B，∴

由P、A、M三点共线可以得

从而 , 

∴＝－4＋＝．　

②

将①代入②，化简得．

∵，∴>0，于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内．

方法2：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0)．设，，

则，，又MN的中点Q的坐标为，

依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差

＝＋－＋＝

③

直线AP的方程为，直线BP的方程为，

而两直线AP与BP的交点P在直线x＝4上，

∴，即　

④

又点M在椭圆上，则，即　

⑤

于是将④、⑤代入③，化简后可得＝

从而点B在以MN为直径的圆内．

10

（Ⅰ）由

      且

（Ⅱ）

又

解：（I） 底面是平行四边形，且, ………1分

又平面， ……………2分

 ，面…………3分

 平面平面…………………4分

（II）平面，与底面所成角为

在中，

在中，

 ，故 ， …………………6分

设与相交于点，取的中点，连结，则

平面，平面

以分别为轴方向建立空间直角坐标系，则 ， ,

，，………………8分

设平面的法向量

由 得 ，取 ，则

故平面的一个法向量为…………………9分

由 得 ，取 ，则

 平面的一个法向量 ……………10分

 …………………11分

设平面与平面所成二面角为，且因为为锐角.

 ，即平面与平面所成二面角的余弦值为.…………12分

（Ⅰ）证明：由题设（），得

，即，．

又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．

（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）

，

，

……

，（）．

将以上各式相加，得（）．

所以当时，

上式对显然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．

由可得，由得，

①整理得，解得或（舍去）．于是．

另一方面，，

．

由①可得，．

所以对任意的，是与的等差中项．

解: (Ⅰ)函数的定义域为,.

依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故

,

并且 .

所以,

故的取值范围是

(Ⅱ)解:当时,.若设,则

.

于是有 

构造函数(其中),则.

所以在上单调递减,.

故的最大值是

解(Ⅰ)由，

得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立.

故，且当a＝b＝时等号成立.

所以的最小值为

(Ⅱ)由(1)知，

由于，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.