理科数学 2010年高三试卷

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单选题
填空题
简答题

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

7．已知直线与圆交于两点，且（其中O为坐标原点），则实数的值是（）

C或

D或

正确答案

解析

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知识点

导数的加法与减法法则

题型：单选题

分值: 5分

1．已知全集，则集合等于（）

正确答案

解析

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知识点

二次函数的图象和性质

题型：单选题

分值: 5分

2．已知角终边上一点，则角的最小正值为（）

正确答案

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

分值: 5分

3．在复平面内，复数对应的点位于（）

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

解析

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知识点

导数的加法与减法法则

题型：单选题

分值: 5分

5．已知向量，，，则向量的夹角为（）

正确答案

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知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

分值: 5分

6．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的序号是（）

①若则；

②若，则；

③若则；

④若，则．

A①②

B②③

C③④

D①④

正确答案

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

分值: 5分

4．设，则（）

正确答案

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知识点

指数函数的图像变换

题型：单选题

分值: 5分

8．已知函数．满足对任意的都有成立，则的取值范围是（）

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

9．将红、黑、白三个棋子放入如图所示的小方格内，每格内只放一个，且3个棋子既不同行也不同列，则不同的放法有（）

A576种

B288种

C144种

D96种

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

11．若为上的奇函数，且满足，对于下列命题：

①；

②是以4为周期的周期函数；

③的图像关于对称；

④．

其中正确命题的序号为（）

A①②

B①②④

C①②③

D②③④

正确答案

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知识点

幂函数的实际应用

题型：单选题

分值: 5分

10．数列满足且，数列的前2009项和为（）

A2007

B2008

C2344

D2345

正确答案

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知识点

函数单调性的性质

题型：单选题

分值: 5分

12．已知映射．设点，，点M 是线段AB上一动点，．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点所经过的路线长度为（）

正确答案

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知识点

二次函数的应用

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

14．等比数列的前项和为，已知成等差数列，则的公比为 ______________．

正确答案

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知识点

幂函数的图像

题型：填空题

分值: 5分

15．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AAl＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为____________．

正确答案

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 5分

16．给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：

①的定义域是R，值域是；

②点的图像的对称中心；

③函数的最小正周期为1；

④函数上是增函数；

则其中真命题是__________。

正确答案

①③

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 5分

13．在的二项展开式中，所有的有理项之和为S，当时，S=______________．

正确答案

2048

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知识点

二次函数的应用

简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

18．道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q<80时，为酒后驾车；当Q≥80时，为醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人，依据上述材料回答下列问题：

（Ⅰ）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数；

（Ⅱ）从违法驾车的8人中抽取2人，求取到醉酒驾车人数的分布列和期望。

（Ⅲ）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是0．1和0．25，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的。依此计算被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率（列式）。

正确答案

（Ⅰ）； 25%

（Ⅱ）解：设取到醉酒驾车的人数为随机变量，则可能取到的值有0，1，2

，，．

则分布列如下

，

（Ⅲ）

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知识点

指数函数的图像变换

题型：简答题

分值: 12分

20．已知函数

（1）若方程内有两个不等的实根，求实数m的取值范围；（e为自然对数的底数）

（2）如果函数的图象与x轴交于两点、且．求证：（其中正常数）。

正确答案

（1）由，

求导数得到：

，故在有唯一的极值点

，且知

故上有两个不等实根需满足：

故所求m的取值范围为．

（2）又有两个实根

则两式相减得到：

于是

，故

要证：，只需证：

只需证：

令，则只需证明：在上恒成立．

又则于是由可知．故知

上为增函数，则

从而可知，即（*）式成立，

从而原不等式得证．

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

分值: 10分

17．已知函数（其中为正常数，）的最小正周期为．

（1）求的值；

（2）在△中，若，且，求．

正确答案

（1）∵

．

而的最小正周期为，为正常数，

∴，解之，得．

（2）由（1）得．

若是三角形的内角，则，∴．

令，得，∴或，

解之，得或．

由已知，是△的内角，且，

∴，，∴．

又由正弦定理，得．

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对数函数的定义

题型：简答题

分值: 12分

19．如图，在三棱锥P－ABC中，，，点分别是AC、PC的中点，底面ABC．

（1）求证：平面；

（2）当时，求直线与平面所成的角的大小；

（3）当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？

正确答案

方法一：

（1）∵O、D分别为AC、PC中点，

，

（2）

，

又，

PA与平面PBC所成的角的大小等于，

（3）由（2）知，，∴F是O在平面PBC内的射影

∵D是PC的中点，

若点F是的重心，则B，F，D三点共线，

∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，

，即

反之，当时，三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心

方法二：

，，

以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系（如图）

设则，

设，则

（2）D为PC的中点，

，

又，

（3），即，

可求得平面PBC的法向量，

，

设PA与平面PBC所成的角为，则

，

（3）的重心，

，

又，

，即，

反之，当时，三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心

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简单复合函数的导数

题型：简答题

分值: 12分

21．已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为

，是的中点．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作直线（与轴不垂直）与轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值．

正确答案

（1）设，，．

∵是线段的中点，∴

∵分别是直线和上的点，

∴和．

∴

又，∴．

∴，∴动点的轨迹的方程为．

（2）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．

设、、，

则两点坐标满足方程组

消去并整理，得，

∴， ① ． ②

∵，∴．

即∴．∵与轴不垂直，∴，

∴，同理．

∴．

将①②代入上式可得．

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二次函数的应用

题型：简答题

分值: 12分

22．数列满足，是常数．

（1）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

（2）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有．

正确答案

（1）数列不可能为等差数列，

证明如下：

由，得

，，．

若存在，使为等差数列，则，即，

解得．

于是，．

这与为等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．

（2）记，根据题意可知，

且，即且，

这时总存在，满足：当时，；当时，．

所以由及可知，若为偶数，则，从而当时，；若为奇数，则，从而当时．

因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数，

记，则满足

．

故的取值范围是．

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导数的加法与减法法则

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