理科数学 2017年高三第二次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设全集,集合,则的子集的个数是(   )

A4

B3

C2

D1

正确答案

A

解析

因为全集,集合,所以={3,7},所以的子集的个数为.

考查方向

本题主要考查了集合的子集问题.

解题思路

求出以={3,7},即可计算的子集的个数为.

易错点

不会计算集合的子集个数.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.设是复数的共轭复数,若,则(   )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

因为=,所以

.

考查方向

本题主要考查了复数的混合记算,以及共轭复数的概念.

解题思路

首先求出复数=,所以.

易错点

复数的混合记算出现错误.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个,被乙、丙、丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是(   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

设乙、丙、丁分别领到x元、y元、z元,记为(x,y,z),则基本事件有:

(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2)(3,2,1),

(2,2,2)共10个,其中符合乙获得“最佳手气”事件:(4,1,1),(3,1,2)(3,2,1),

(2,2,2)有4个, 故所求概率为.

考查方向

本题主要考查了古典概型的概率计算.

解题思路

首先列出基本事件总数:(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2)(3,2,1),(2,2,2);再列出满足条件的事件数(4,1,1),(3,1,2)(3,2,1),(2,2,2),即可解得.

易错点

基本事件总数遗漏,大部分学生容易忘掉(2,2,2)这种情况.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.已知向量,则(   )

A

B6

C

D

正确答案

C

解析

因为,所以(2,2)(3,4)=6+8=14.

考查方向

本题主要考查了平面向量的坐标运算.

解题思路

求出向量,即可解得.

易错点

计算过程中出现错误.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.过抛物线的焦点且垂直于轴的直线与交于两点,关于抛物线两点处的切线,有下列四个命题,其中的真命题有:

①两切线互相垂直;②两切线关于轴对称;③过两切点的直线方程为;④两切线方程为

A1个

B2个

C3个

D4个

正确答案

C

解析

因为,在A点处的切线斜率为1,在B点处的切线的斜率为-1,所以①正确;抛物线的焦点为,切点为,所以过两切点的直线方程为;所以③正确;所以在A处的切线方程为,在B处的切线方程为,由抛物线的对称性可知②正确,④不正确.

考查方向

本题主要考查了曲线的切线方程.

解题思路

利用函数的导数求出,即可解得过切点的切线的斜率,切线方程,以及过两切点的直线方程.

易错点

计算切点出现错误.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

如图所示:

该几何体是一个三棱柱截去一个角,所以

考查方向

本题主要考查几何体的体积计算.

解题思路

由三视图得到原几何体的形状,该几何体是一个三棱柱截去一个角,即可求出该几何体的体积.

易错点

学生由三视图得不到原几何体的形状,从而不会计算.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.已知是圆上的一个动点,过点作曲线的两条互相垂直的切线,切点分别为的中点为,若曲线,且,则点的轨迹方程为,若曲线),且,则点的轨迹方程为(   )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由于椭圆与双曲线的定义中运算互为逆运算,所以猜想双曲线对应的点E的轨迹方程为.

考查方向

本题主要考查了猜想法求轨迹方程.

解题思路

根据椭圆与双曲线的定义中运算互为逆运算,所以猜想双曲线对应的点E的轨迹方程为.

易错点

学生不会根据椭圆与双曲线的定义中运算互为逆运算,所以不能猜想双曲线对应的点E的轨迹方程.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.已知,则的值是(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

因为

所以=.

考查方向

本题主要考查了两角和差余弦公式,以及二倍角公式的应用.

解题思路

,再根据二倍角公式

,计算可得.

易错点

三角函数的角的恒等变换出现错误.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.运行如图所示的程序框图,输出的数称为“水仙花数”.(算术符号表示取余数,如).下列数中的“水仙花数”是(   )

A100

B153

C551

D900

正确答案

B

解析

由程序框图知,a表示一个数的个位数,b表示其十位数,c表示其百位数.

,所以A不正确;,所以B正确;

,所以C不正确;,所以D不正确.

考查方向

本题主要考查了程序框图的循环结构.

解题思路

根据框图知a表示一个数的个位数,b表示其十位数,c表示其百位数.输出的m满足,即可得.

易错点

学生不理解程序框图的含义,从而出现错误.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.在中,为边上一点,且的面积为,则边的长是(   )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

因为,解得BD=2,则为等边三角形,所以DA=DC=2,在中,

=12,

.

考查方向

本题主要考查了三角形的面积公式,以及余弦定理的应用.

解题思路

的面积为,得到BD=2,在中,,即可得到.

易错点

计算过程出现错误.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.如图,在中,,点的中点,将沿折起到的位置,使,连接,得到三棱锥,若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是(   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

依题意可得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形,且BD⊥平面PCD.设三棱锥P—BDC的外接球的球心为O,△PCD外接圆的圆心为,则平面PCD,所以四边形为直角梯形,由,及OB=OD,解得,即外接球的半径为,所以该球的表面积为.

考查方向

本题主要考查了三棱锥外接球的表面积.

解题思路

三棱锥的面PCD是边长为的正三角形,且BD⊥平面PCD,以及四边形为直角梯形,由,及OB=OD,解得,即外接球的半径为,即可得.

易错点

关键是学生求不出半径,即不能熟练应用四边形为直角梯形,由,及OB=OD,解得.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.已知函数)的图象上存在点,函数的图象上存在点,且关于原点对称,则的取值范围是(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

因为P,Q关于原点对称,所以,即有解,令

,所以函数上递减,在上递增,所以,即.

考查方向

本题主要考查了函数与方程有解的问题.

解题思路

由题意得,即有解,令,所以函数上递减,在上递增,所以,即.

易错点

关键是学生不能构造函数,从而不能解决问题.

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.若函数的单调递减区间为,则         

正确答案

1

解析

因为,由题意知是方程的解,所以解得a=1.

考查方向

本题主要考查了导数的单调区间的应用.

解题思路

求出导数,由题意知是方程的解,即可得.

易错点

导数的计算出现错误.

1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.已知满足的最小值是         

正确答案

.

解析

画出不等式组,表示的平面区域,如下图所示:

则直线过点时,有最小值,最小值.

考查方向

本题主要考查了线性规划的应用.

解题思路

首先画出不等式组,表示的平面区域,即可解得.

易错点

不等式组,表示的平面区域画的不准确.

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.已知函数)的部分图像如图所示,将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,则函数在区间上的最大值是         

正确答案

解析

由图可知,函数f(x)的周期为,所以,又点在函数的图象上,所以,解得,所以

所以

又因为,则,所以,所以最大值为.

考查方向

本题主要考查了利用函数的图象求函数解析式,以及已知定义域求三角函数的最大值.

解题思路

由函数的图象求出函数的解析式,再根据函数的平移得到,又因为,则,,所以最大值为.

易错点

函数的解析式求错.

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.已知双曲线)的左、右焦点分别为,且为抛物线的焦点,设点为两曲线的一个公共点,且为钝角,则双曲线的方程为         

正确答案

解析

过点M作ME垂直于抛物线的准线,垂足为E,过M作MH垂直x轴,垂足为H,则,在中,,又,在中,,所以p=2c=12,即c=6,又2a=6,即a=3,所以,所以双曲线的方程为.【解题思路】过点M作ME垂直于抛物线的准线,垂足为E,过M作MH垂直x轴,垂足为H,则,在中,,又,在中,,即可得c=6,a=6,即可得双曲线方程.

考查方向

本题主要考查了双曲线标准方程的求法.

易错点

不会过点M作ME垂直于抛物线的准线,垂足为E,过M作MH垂直x轴,垂足为H,利用解直角三角形求解.

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 10分

已知数列满足,等差数列满足

17.  求

18.  记,求

19.  求数列前200项的和

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题意知,当为奇数,;当为偶数,

于是,故数列的公差为3,

考查方向

本题主要考查了等差数列的通项公式的求法.

解题思路

通过对n分类讨论,得到当为奇数,;当为偶数,,可得

,即可数列的通项公式

易错点

不知道对n分类讨论出现错误.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

=

解析

考查方向

本题主要考查了数列通项公式的应用.

解题思路

把当为奇数,;当为偶数,,依题意代入化简即可得.

易错点

化简计算出现错误.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

180000

解析

由(Ⅱ)知,数列为等差数列,

=+

=+

==180000.

考查方向

本题主要考查了分组求和法,以及等差数列的前n项和.

解题思路

=+.即可解得.

易错点

学生不会分组求和.

1
题型:简答题
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分值: 12分

在三棱柱中,的中点.

20.  证明:平面

21.  若,点在平面的射影在上,且侧面的面积为,求三棱锥的体积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

连接于点,连接

的中点,又的中点,

所以,且平面平面

平面

考查方向

本题主要考查了线面平行的判定.

解题思路

连接于点,连接,则的中点,又的中点,

所以,且平面平面,即可证明.

易错点

不知道连接于点,即构造不出三角形的中位线.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

的中点,连接,过点于点,连接

因为点在平面的射影上,且

所以平面,∴

平面,则

,在中,

,可得

所以三棱锥的体积为

考查方向

本题主要考查了线面垂直的判定定理与性质定理,以及等积转化求三棱锥的体积.

解题思路

的中点,连接,过点于点,连接.所以平面,∴,∴平面,则

,可得,由,可得

,即可求得.

易错点

不会求三棱锥的高是难点与易错点.

1
题型:简答题
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分值: 10分

某种多面体玩具共有12个面,在其十二个面上分别标有数字1,2,3,…,12.若该玩具质地均匀,则抛掷该玩具后,任何一个数字所在的面朝上的概率均相等.

为检验某批玩具是否合格,制定检验标准为:多次抛掷该玩具,并记录朝上的面上标记的数字,若个数字出现的频率的极差不超过0.05,则认为该玩具合格.

22.  对某批玩具中随机抽取20件进行检验,将每个玩具各面数字出现频率的极差绘制成茎叶图(如图所示),试估计这批玩具的合格率;

23.  现有该种类玩具一个,将其抛掷100次,并记录朝上的一面标记的数字,得到相应数据如表:

1)   试判定该玩具是否合格;

2)   将该玩具抛掷一次,记事件 :向上的面标记数字是完全平方数(能写成整数的平方形式的数,如 , 为完全平方数),事件 :向上的面标记的数字不超过4.试根据表中的数据,完成列联表(其中 表示 的对立事件),并回答在犯错误的概率不超过0.01的前提下,能否认为事件 与事件 有关.

(参考公式及数据:

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

这批玩具的合格率约为

解析

由题意知,20个样本中,极差为0.052,0.071,0.073的三个玩具不合格,故合格率可估计为,即这批玩具的合格率约为

考查方向

本题主要考查了古典概型的概率计算.

解题思路

由极差为0.052,0.071,0.073的三个玩具不合格,故合格的玩具有17个,即可求出合格率.

易错点

不理解题意,即极差为0.052,0.071,0.073的三个玩具不合格.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

1)   该玩具合格.

2)         故在犯错误的概率不超过0.01的前提下,能认为事件与事件有关.

故在犯错误的概率不超过0.01的前提下,能认为事件与事件有关.

解析

1)   由数据可知,5点或9点对应最大频率为0.10,4点对应最小频率0.06,故频率极差为,故该玩具合格.

2)   根据统计数据,可得2×2列联表:

于是的观测值

故在犯错误的概率不超过0.01的前提下,能认为事件与事件有关.

于是的观测值

故在犯错误的概率不超过0.01的前提下,能认为事件与事件有关.

考查方向

本题主要考查了独立性检验的应用.

解题思路

由题意可知5点或9点对应最大频率为0.10,4点对应最小频率0.06,故频率极差为

根据数据列出2×2列联表,然后计算的观测值,即可下结论.

易错点

不理解题意,频率极差为最大频率减去最小频率.

计算的观测值出现错误.

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知椭圆过点,且的离心率为

24.  求的方程;

25.  过的顶点作两条互相垂直的直线与椭圆分别相交于两点,若的角平分线方程为,求的面积及直线的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

椭圆的方程为

解析

把点代入中,得,又,∴

解得

∴椭圆的方程为

考查方向

本题主要考查了椭圆方程的求法.

解题思路

把点代入中,得,又,可得,解得,即可得椭圆方程.

易错点

解方程组出现错误.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

的面积为   的方程为

解析

设过斜率为)的直线为,代入椭圆方程,①

,②

在直线上取一点,则到直线的距离为

到直线的距离为

由已知条件,解得

代入②得

的面积

由①得

的方程为,即

考查方向

本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,以及椭圆的内接三角形的面积.

解题思路

过点A的直线为,代入椭圆方程

,则,可得

又因为的角平分线方程为,在直线上取一点,则到直线的距离为,点到直线的距离为

由已知条件,解得.即可解得的面积, 的方程为

易错点

计算过程出现错误.

1
题型:简答题
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分值: 12分

综合解答

26.  已知函数曲线在点处的切线方程为

27.  若存在实数,对任意的),都有,求整数的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

时,

所以曲线在点处的切线方程为,即

又曲线在点处的切线方程为,所以

考查方向

本题主要考查曲线的切线方程.

解题思路

求出曲线在点处的切线方程为,即.又曲线在点处的切线方程为,所以

易错点

曲线在点处的切线方程求错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

所求的最小正整数为2.

解析

由(Ⅰ)知显然对于任意恒成立,

所以为偶函数,

,得

两边取以为底的对数,得

所以上恒成立,

(因为),

所以

,已知上单调递减,

,故

要此不等式有解,必有,又

所以满足要求,故所求的最小正整数为2.

考查方向

本题主要考查了不等式恒成立问题

解题思路

由(Ⅰ)知显然对于任意恒成立,

所以为偶函数,.由,得,两边取以为底的对数,得,所以上恒成立,

,即,所以满足要求,故所求的最小正整数为2.

易错点

,得,不知两边取以为底的对数,转化为,进一步转化为.

1
题型:简答题
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分值: 12分

选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为).

28.  求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程,并讨论两曲线公共点的个数;

29.  若,求由两曲线交点围成的四边形面积的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

).

时,两曲线有两个公共点;

时,两曲线有四个公共点;

时,两曲线无公共点.

考查方向

本题主要考查了参数方程与极坐标方程转化为普通方程与直角坐标方程.

解题思路

曲线的参数方程为,消去参数,即可得. 曲线的极坐标方程为),两边平方得,即可得.

易错点

学生不会消参数出现错误.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

四边形面积的最大值为2ab.

解析

由于曲线与曲线关于轴、轴以及原点对称,

所以四边形也关于轴、轴以及原点对称,

设四边形位于第一象限的点为

则四边形的面积为

当且仅当,即时,等号成立.

考查方向

本题考查了椭圆与圆的交点四边形的面积的最值问题.

解题思路

由于四边形也关于轴、轴以及原点对称,设四边形位于第一象限的点为,则四边形的面积为.

易错点

关键是学生不会表示四边形的面积为.

1
题型:简答题
|
分值: 12分

选修4-5:不等式选讲

已知关于的不等式

30.  当时,求该不等式的解集;

31.  当时,该不等式恒成立,求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

不等式的解集为

解析

时,原不等式化为

等价于解得

所以所求的不等式的解集为

考查方向

本题主要考查了含有绝对值的不等式的解法.

解题思路

原不等式化为,等价于 解得即可.

易错点

学生不会分类讨论出现错误.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,∴,∴原不等式化为,①

,即时,①式恒成立,所以

,即时,①式化为

化简得,或

,∴

,或

所以当时,

所以

所以

综上,实数的取值范围为

考查方向

本题主要考查含参数的不等式恒成立问题.

解题思路

,∴,∴原不等式化为,①

,即时,①式恒成立,所以

,即时,①式化为

化简得,或,∴,或.即可解得.

易错点

学生不会分类讨论,以及分离参数法不熟练.

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