• 2019年高考真题 理科数学 (全国I卷)
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单选题 本大题共11小题,每小题5分,共55分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
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1.已知集合,则=

A

B

C

D

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2.设复数z满足z在复平面内对应的点为(xy),则

A

B

C

D

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1

3.已知,则

A

B

C

D

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1

4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是

A165 cm

B175 cm

C185 cm

D190 cm

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1

5.函数f(x)=的图像大致为

A

B

C

D

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6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A

B

C

D

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7.已知非零向量ab满足,且b,则ab的夹角为

A

B

C

D

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8.如图是求的程序框图,图中空白框中应填入

AA=

BA=

CA=

DA=

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9.记为等差数列的前n项和.已知,则

A

B

C

D

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10.已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于AB两点.若,则C的方程为

A

B

C

D

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11.关于函数有下述四个结论:

f(x)是偶函数                                                 ②f(x)在区间()单调递增

f(x)在有4个零点                  ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A①②④

B②④

C①④

D①③

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填空题 本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在题中横线上。
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12.已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,EF分别是PAAB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为

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13.曲线在点处的切线方程为____________.

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14.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若,则S5=____________.

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15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是____________.

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16.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于AB两点.若,则C的离心率为____________.

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简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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17.(12分)

的内角ABC的对边分别为abc,设

(1)求A

(2)若,求sinC

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18.(12分)

如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,EMN分别是BCBB1,A1D的中点.

(1)证明:MN∥平面C1DE

(2)求二面角A−MA1−N的正弦值.

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19.(12分)

已知抛物线Cy2=3x的焦点为F,斜率为的直线lC的交点为AB,与x轴的交点为P

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;

(2)若,求|AB|.

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20.(12分)

已知函数的导数.证明:

(1)在区间存在唯一极大值点;

(2)有且仅有2个零点.

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21.(12分)

为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为αβ,一轮试验中甲药的得分记为X

(1)求的分布列;

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,表示“甲药的累计得分为时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则,其中.假设

(i)证明:为等比数列;

(ii)求,并根据的值解释这种试验方案的合理性.

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22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为

(1)求Cl的直角坐标方程;

(2)求C上的点到l距离的最小值.

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23.[选修4—5:不等式选讲](10分)

已知abc为正数,且满足abc=1.证明:

(1)

(2)

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