• 2019年高考真题 理科数学 (北京卷)
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

1.

A

B

C3

D5

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1

2.执行如图所示的程序框图,输出的s值为

A1

B2

C3

D4

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1

3.已知直线l的参数方程为 (t为参数),则点(1,0)

到直线l的距离是

A

B

C

D

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1

4.已知椭圆(a>b>0)的离心率为,则

Aa2=2b2.

B3a2=4b2

Ca=2b

D3a=4b

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1

5.若,满足,且,则的最大值为

A-7

B1

C5

D7

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1

6.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为)。已知太阳的星等为-26.7,天狼星的星等为-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为

A

B

C

D

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1

7.设点不共线,则“的夹角是锐角”是“”的

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

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1

8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线就是其中之一(如图)。给出下列三个结论:

① 曲线恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);

② 曲线上任意一点到原点的距离都不超过;

③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.

其中,所有正确结论的序号是

A

B

C①②

D①②③

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填空题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。把答案填写在题中横线上。
1

9. 函数的最小正周期是 ________。

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10.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-3,S5=-10,则a3= ________ . Sn 的最小值为_______。

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11. 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示。如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为________。

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12.已知l、m是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断:

lm;   ② m∥a;   ③la

以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题: ______ 。

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1

13. 设函数 (a为常数),若f(x)为奇函数,则a=______; 若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是 ________。

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14.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃

价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒,为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元,每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%。

①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 _______ 元:

②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________ 。

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1

15.(本小题13分)

中,

(Ⅰ)求b,c的值;

(Ⅱ)求 的值.

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16.(本小题14分)

如图,在四棱锥P-ABCD中, , ,  ,PA=AD=CD=2 ,BC=3.E为PD中点,点F在PC上,且 .

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求二面角F-AE-P的余弦值;

(Ⅲ)设点G在PB上,且.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.

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17.(本小题13分)

改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变。近年来,移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:

(Ⅰ)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两个支付方式都使用的概率;

(Ⅱ)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;

(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化,现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额大于2000元。根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由。

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18.(本小题14分)

已知抛物线经过点(2,-1)。

(I)   求抛物线C的方程及其准线方程;

(II) 设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B,求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两上定点。

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1

19.(本小题13分)

已知函数

(I)   求曲线的斜率为1的切线方程;

(II) 当时,求证:;

(III)     设,记在区间[-2,4]上的最大值为M(a),当M(a)最小时,求a的值。

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20.(本小题13分)

已知数列{an},从中选取第i1项、第i2项、…、第im项(i1 <i2<…<im),若,则称新数列为{an}的长度为m的递增子列。规定:数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列。

(I)   写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列;

(II) 已知数列{an}的长度为P的递增子列的末项的最小值为 ,长度为q的递增子列的末项的最小值为,若p<q,求证:

(III)     设无穷数列{an}的各项均为正整数,且任意两项均不相等,若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1,2,…),求数列{an}的通项公式。

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