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1.已知集合,
,若
,则
为( )
正确答案
解析
因为,所以
,即
,所以
,所以
,所以
,故选D.
考查方向
解题思路
由.可得,
易错点
可得
3.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为,则输入的正整数
的可能取值的集合是( )
正确答案
解析
依次执行循环体的值为,
;
,
.此时循环结束,所以
且
,得
,所以
的可能取值为2,3,4,5,故选C
考查方向
解题思路
抓住循环体结束的判断条件得到不等式求解
易错点
循环体结束的判断条件的确定
5.某大学的名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐
名同学(乘同一辆车的
名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的
名同学中恰有
名同学是来自同一年级的乘坐方式共有( )
正确答案
解析
分两类,第一类,大一的孪生姐妹在甲车上,甲车上剩下两个学生要来自不同的年级,从三个年级中选两个为,然后从选择的两个年级中再分别选择一个学生,为
,剩下的4人乘坐乙车.故有
种;
第二类,大一的孪生姐妹不在甲车上,则从剩下的三个年级中选择同一个年级的两名同学在甲车上,为,然后再从剩下的两个年级中分别选择一人,为
,这时共有
种.
因此共有种不同的乘车方式,故选A.
考查方向
解题思路
分两类:第一类,大一的孪生姐妹在甲车上:;第二类,大一的孪生姐妹不在甲车上:
易错点
分清楚分类加法计数原理还是用分步乘法计数原理
6.若函数满足
,则函数
的单调递增区间是( )
正确答案
解析
由题意时,
取最小值,即
,
不妨令,取
,即
.
令,得
,故选D
考查方向
解题思路
确定时,
取最小值,求出
,再求单调区间
易错点
由题意确定时,
取最小值
7.设向量,
,则“
”是“
”的( )
正确答案
解析
试题分析:
,若
,
此时.则
,
.
若,则
,
,
“
”是“
”的充分不必要条件,故选A.
考查方向
解题思路
当=2时,
;当
时
,
易错点
定积分的计算与充分必要条件的判定
教师点评
1充分必要条件;2向量共线.
【易错点晴】本题主要考查的是充分条件与必要条件,属于容易题.解题时一定要注意时,
是
的充分条件,
是
的必要条件,否则很容易出现错误.
2.已知是虚数单位,
,
,则“
”是“
”的( )
正确答案
解析
当时,
成立,
当时
或
.
所以“”是“
”的充分不必要条件.故选A.
考查方向
解题思路
当时,
成立;当
,
或
易错点
充分必要条件的判定
4.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是
,则正视图中的
的值是( )
正确答案
解析
由三视图可知:该几何体是一个四棱锥,底面
,
,底面是一个上下边长分别为1和2,高为2的直角梯形,
体积,所以
,故选B.
考查方向
解题思路
三视图确定几何体为四棱锥且底面为直角梯形,根据棱锥的体积公式即可求得高的值
易错点
三视图确定几何体的形状
8.函数(
)的所有零点之和为( )
正确答案
解析
函数的零点等价于函数
和
的图象在区间
内的交点的横坐标.
由于两函数图象均关于直线对称,且函数
的周期为2,结合图象可知两函数图象在一个周期内有2个交点且关于直线
对称,所以两交点横坐标之和为2,故其在三个周期即
内的所有零点之和为
,故选C
考查方向
解题思路
将函数的零点等价于函数和
的图象在区间
内的交点的横坐标,借助于三角函数的图像与性质确定
易错点
三角函数的图像与性质
9.在中,
,
,
,
,
为边
的三等分点,则
( )
正确答案
解析
在中,
∴,
,
.
以为坐标原点,
,
方向为
轴、
轴正方向建立坐标系,
∵,则
.
又∵分别是Rt△ABC中边BC上的两个三等分点,则
,
,则
,
,∴
,故选A.
考查方向
解题思路
先由余弦定理确定三角形为直角三角形,再建系用坐标法求向量数量积
易错点
向量数量积的坐标运算
10.已知数列满足
,
,则
( )
正确答案
解析
由,得
,∴
,
,又
,∴
是以1为首项,1为公差的等差数列,
则,∴
,则
,故选C
考查方向
解题思路
由已知条件分析构造为整体,转化为等差数列求通项公式.
易错点
构造法求数列的通项公式
11.过抛物线(
)的焦点
作倾斜角为
的直线
,若直线
与抛物线在第一象限的交点为
并且点
也在双曲线
(
,
)的一条渐近线上,则双曲线的离心率为( )
正确答案
解析
过抛物线:的焦点
,且倾斜角为
的直线
的方程为
,联立直线方程与抛物线方程可得直线
与抛物线在第一象限的交点为A
,
点也在双曲线:
的一条渐近线上,应在
上,则
,则有
,
,故选A.
考查方向
解题思路
联立直线方程与抛物线方程可得直线与抛物线在第一象限的交点,代入双曲线的渐近线方程求出离心率
易错点
双曲线的简单几何性质
12.定义域为的函数
满足
,当
时,
,若当
时,函数
恒成立,则实数
的取值范围为( )
正确答案
解析
试题分析:因为当时,函数
恒成立,所以
.
又当时,
;
当时,
.
所以,即
,解得
,故选B
考查方向
解题思路
将问题转化为求f(x)的最小值,利用二次函数与指数函数求分段函数的值域
易错点
利用二次函数与指数函数求分段函数的值域
如图,在四棱锥中,底面
为直角梯形,
,
,平面
底面
,
为
的中点,
是棱
上的点,
,
,
.
21.求证:平面平面
;
22.若为棱
的中点,求异面直线
与
所成角的余弦值;
23.若二面角大小为
,求
的长.
正确答案
详见解析
解析
证明:∵
,
,
为
的中点,
∴四边形为平行四边形,
∴
.
∵,
∴,即
.
又∵平面平面
,且平面
平面
,
∴平面
.
∵平面
,
∴平面平面
.
考查方向
解题思路
由面面垂直的性质定理即可证得平面
,从而可得证平面
平面
易错点
线面垂直,面面垂直定理的应用
正确答案
解析
解:∵,
为
的中点,
∴.
∵平面平面
,且平面
平面
,
∴平面
.
如图2,
以为原点建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
.
∵是
的中点,
∴,
∴.
设异面直线与
所成角为
,
则,
∴异面直线与
所成角的余弦值为
考查方向
解题思路
以所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系.即可得各点的坐标,从而可得
的坐标.由向量数量积公式可求得
夹角的余弦值
易错点
空间向量法的计算
正确答案
解析
由(2)知平面的法向量为
,
由,且
,
得,
又,
∴平面法向量为
.
∵二面角为
,
∴,∴
,
∴
考查方向
解题思路
根据向量垂直数量积为0可求得面和面
的法向量,两法向量夹角的余弦值的绝对值等于
.从而可得点
的坐标,即可求得
的长
易错点
空间向量法的计算
中,角
、
、
所对的边为
、
、
,且
.
17.求角;
18.若,求
的周长的最大值.
正确答案
解析
,
解得.
考查方向
解题思路
根据正弦定理将已知条件转化为角的正弦值,余弦值间的关系式,再由二倍角公式,两角和差公式将其化简变形,从而可得角间关系
易错点
正弦定理的运用
正确答案
6
解析
周长
,
当时,△ABC的周长的最大值为6
考查方向
解题思路
用正弦定理将边用角
表示,再根据
得
,即用角
表示出三角形的周长,再将其化简变形,用三角函数求最值
易错点
三角函数求最值
在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,从中任意摸出一球,若是红球记分,白球记
分,黄球记
分.现从这个盒子中,有放回地先后摸出两球,所得分数分别记为
,
,设
为坐标原点,点
的坐标为
,记
.
19.求随机变量的最大值,并求事件“
取得最大值”的概率;
20.求随机变量的分布列和数学期望.
正确答案
随机变量的最大值为5;
解析
,
可能的取值为1,2,3,
,
,
,且当
,
或
,
时,
.
因此,随机变量的最大值为5.
有放回地摸两球的所有情况共有
种,
.
考查方向
解题思路
根据的取值,可得
的范围,从而可得
的范围.根据古典概型概率公式可求得所求概率
易错点
容易忽略有放回地先后摸出两球即的取值可以相同
正确答案
详见解析
解析
的所有取值为0,1,2,5.
时,只有
,
这一种情况;
时,有
,
,或
,
,或
,
,或
,
四种情况;
时,有
,
,或
,
两种情况.
,
,
.
则随机变量的分布列为:
.
考查方向
解题思路
根据的取值可分别求得
的所有取值时的概率,从而可得其分布列,根据期望公式可求得其期望值
易错点
的所有取值对应的概率
已知函数,其中
.
26.若函数在区间
内单调递增,求
的取值范围;
27.求函数在区间
上的最小值;
28.求证:对于任意的,且
时,都有
成立.
正确答案
解析
.
由已知,得在
上恒成立,
即在
上恒成立.
又当
时,
,
,
即的取值范围为
考查方向
解题思路
函数在区间
内单调递增等价于
在
上恒成立.求导,可转化为
在
上恒成立.根据
的单调性可求得其最值,即可得
的范围.
易错点
分离参数求最值
正确答案
解析
当时,
在
上恒成立,这时
在
上为增函数,
;
当时,
在
上恒成立,这时
在
上为减函数,
;
当时,
令,得
.
又对于
有
,对于
有
,
.
综上,在
上的最小值为
考查方向
解题思路
讨论的取值得
在区间
上的正负.从而可得函数
在区间
上的单调性,根据其单调性求其最值
易错点
分类评论
正确答案
详见解析
解析
证明:由26知,函数在
上为增函数,
当
时,
,
,
即,对于
,且
恒成立,
,
对于
,且
时,
恒成立.
考查方向
解题思路
由(Ⅰ)知,函数在
上为增函数.当
时,
,根据函数
的单调性结合对数的运算法则可证得所求
易错点
构造函数证明不等式
【选修4-4:坐标系与参数方程】
已知圆的参数方程为(
,
为参数),将圆上所有点的横坐标伸长到原来的
倍,纵坐标不变得到曲线
;以坐标原点为极点,以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
31.求曲线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
32.设为曲线
上的动点,求点
与曲线
上点的距离的最小值,并求此时
点的坐标.
正确答案
的普通方程为
;
的直角坐标方程为
解析
解:(Ⅰ)由已知曲线的参数方程为
为参数),
则的普通方程为
;
由:
,
由互化公式得的直角坐标方程为
考查方向
解题思路
根据伸缩变换公式可得的参数方程,消参可得普通方程.将
先按两角和差公式展开,根据公式
可将其化简为直角坐标方程.
易错点
参数方程和普通方程的互化,极坐标方程和直角坐标方程间的互化
正确答案
,此时点
解析
设点到直线
:
的距离为
,
当,即
时,
,此时点
考查方向
解题思路
根据的参数方程可设
,由点到线的距离公式可求得点
到
的距离
.用化一公式将其化简可求得
的最值,同时可得点
的坐标
易错点
三角函数求最值
【选修4-5:不等式选讲】
设函数(
).
33.证明:;
34.若,求
的取值范围.
正确答案
详见解析
解析
证明:
考查方向
解题思路
根据不等式即可证得
易错点
绝对值三角形不等式应用
正确答案
解析
解:
解得,
考查方向
解题思路
,根据
可知
,可将
转化为
,再根据绝对的意义即讨论
的符号去绝对值再解不等式
易错点
讨论绝对值符号
如图,已知椭圆(
)经过点
,离心率
,直线
的方程为
.
24.求椭圆的标准方程;
25.是经过椭圆右焦点
的任一弦(不经过点
),设直线
与
相交于点
,记
,
,
的斜率分别为
,
,
,问:是否存在常数
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
正确答案
解析
由点在椭圆上得,
,①
又,所以
,②
由①②得,故椭圆
的方程为
考查方向
解题思路
根据点在椭圆上,可将其代入椭圆方程,又由e且解方程组可得
的值
易错点
椭圆的标准方程
正确答案
存在常数符合题意
解析
假设存在常数,使得
,
由题意可设
则直线的方程为
,③
代入椭圆方程,
并整理得,
设,则有
,④
在方程③中,令得,
,
从而.
又因为共线,则有
,
即有,
所以
=,⑤
将④代入⑤得,又
,
所以,
故存在常数符合题意
考查方向
解题思路
设直线的方程为,与椭圆方程联立消去
可得关于
的一元二次方程,根据斜率公式与韦达定理用
表示出
.从而可得
的值
易错点
解析几何的计算
【选修4-1:几何证明选讲】
如图,已知圆上的弧,过点
的圆的切线
与
的延长线交于
点.
求证:
29.;
30..
正确答案
详见解析
解析
证明:(1)∵
又由已知
.
考查方向
解题思路
根据同圆中等弧所对的圆周角相等及弦切角定理可证得
易错点
圆的性质运用
正确答案
详见解析
解析
在,
中,
,
∴≌
,
∴,
又由已知,
∴.
考查方向
解题思路
根据已知条件易证得≌
,从而可得对应边相等,再结合切割线定理可证得
易错点
切割线定理的运用
13.已知向量,
的夹角为
,且
,
,则
.
正确答案
解析
由,解得
考查方向
解题思路
将平方后,利用数量积求出答案
易错点
向量的数量积的计算
14. .
正确答案
解析
设,整理可得
,
,
这是一个半圆,根据定积分的几何意义,所求积分为此半圆的面积,所以所求积分为
考查方向
解题思路
用定积分的几何意义将定积分问题转化为面积问题
易错点
定积分的几何意义
15.观察下列等式:
可以推测: .(
,结果用含有
的代数式表示)
正确答案
解析
根据所给等式,
,
,
,…,可以看出,等式左边各项幂的底数的和等于右边的幂的底数,
推测:
考查方向
解题思路
观察出,等式左边各项幂的底数的和等于右边的幂的底数
易错点
观察出,等式左边各项幂的底数的和等于右边的幂的底数
16.已知为定义在
上的可导函数,且
,则不等式
的解集为 .
正确答案
解析
设,则
,
,
,
,
在
上为减函数,
,
,
,即
,
,
考查方向
解题思路
将变形可得
,构造函数
,求
,根据
的正负可得函数
的增减性.根据单调性解不等式
易错点
构造函数,用导数求函数的单调性