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2.已知命题:若
,则
;命题
:若
,则
.下列说法正确的是( )
正确答案
解析
由条件可知命题为真命题,
为假命题,所以“
”为真命题,故选择A
考查方向
解题思路
其中有一真即真,
有一假全假,非
改变真假。
易错点
对命题的判断符号认识错误。
6.函数的大致图象是( )
正确答案
解析
是偶函数,其定义域是
,且
在
上是增函数,选B
考查方向
解题思路
一,先求定义域。二,判断单调性。三,判断增减性。四,特殊值求解。
易错点
奇偶性判断错误。单调性错误。
8. 已知平面直角坐标系中的区域
由不等式组
给定,若
为
上的动点,点
的坐标为
,则
的最大值为( )[:]
正确答案
解析
,结合目标函数的可行域知:z取最大值的最优解为
,所以
,故选C
考查方向
解题思路
向量的乘积和划出可行域,根据最值求出目标函数的最优解。
易错点
可行域划错,最优解解错,向量的乘积计算错误。
9.设等差数列的前
项和为
,已知
,
,则下列结论正确的是( )
正确答案
解析
设,则由
知函数
是奇函数.
由知函数
在R上单调递增.因为
,
,所以
得
,即
,且
,所以在等差数列
中,
.故选A
考查方向
解题思路
观察式子可以构造函数,求导判断单调性,奇偶性,找出两根之间的关系,再利用等差数列的求和公式判断筛出选项。
易错点
无法构造函数,判断单调性。
10. 已知函数的极大值为m,极小值为n,则
m+n=( )
正确答案
解析
,令
,得
,
在
上递增,在
上递减,在
上递增,
所以是极大值点,
是极小值点,所以
考查方向
解题思路
利用导数将原函数的单调区间找出来,即可确定在哪个点取得极值,进而得到答案。
易错点
代入计算出错
1.复数(
为虚数单位)的共轭复数为( )
正确答案
解析
,
考查方向
解题思路
先将复数化简,再写出其共轭复数。
易错点
只化简该复数,未认真看题写出其共轭复数。
3.将函数的图象向左平移
个单位
,若所得图象对应的函数为偶函数,则
的最小值是( )
正确答案
解析
,因为平移之后为偶函数,则
,所以
的最小值为
;
考查方向
解题思路
先利用辅助角公式将函数化简,然后进行平移,再利用三角函数的性质,得,从而求出
的最小值;
易错点
理不清三角函数的图像与性质,建立不起等量关系。
4.执行如图所示的程序框图,输出P的值为A
正确答案
解析
此题的程序框图的功能就是先求这2016个数的最大值,然后进行计算.因为
,
所以.故选A
考查方向
解题思路
程序框图找出推算规律,跳出循环的那个数,代入式子P即可求解。
易错点
结束循环点的数字找错一位。
5.函数的图象恒过定点
,若点
在直线
上,其中
,则
的最小值为( )
正确答案
解析
由题可知,由点A在直线上可得
,
,
,当且仅当
即
且
时取等号。
考查方向
解题思路
由指数函数可得,进而得
,整体代入可得
,由基本不等式可得结果。
易错点
未理解到指数函数过定点,直接代点,导致出错。
7.如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图,其体积为+,则圆锥的母线长为A.
正确答案
解析
据三视图知几何体如图所示,底面所在圆的半径r==2,圆锥的高为=,几何体的底面面积为π×22+×2×1=+,则由题意知·=+,解得l=2,故选A
考查方向
解题思路
先将三视图还原,再计算其母线长。
易错点
三视图不熟悉,无法正确还原立体图形
12. 定义在上的函数
,
单调递增,
,若对任意
存在
,使得
成立,则称
是
在
上的“追逐函数”.已知
,下列四个函数:
.其中是
在
上的“追逐函数”的有( )
正确答案
解析
由题意得若函数,
为
上的“追逐函数”,则
,
在
上的值域相同且
,对任意
,
.
因为在
的值域为
,且
,
对于①,,当
时,
,设
,则
,
,所以对任意
,
,
,所以
是
在
上的“追逐函数”;
对于②,,当
时,
,
设,则
,
所以对任意的,
,
所以是
在
上的“追逐函数”;
对于③,当时,
,所以
不是
在
上的“追逐函数”;
对于④,在
的值域为
,所以
不是
在
上的“追逐函数”.
综上所述,其中是在
上的“追逐函数”的个数为2,故选B.
考查方向
解题思路
理解追逐函数的含义,确定函数,
为
上的“追逐函数”,则
,
在
上的值域相同且
,先找出值域,判断单调性,确定相等的数。
易错点
没能理解什么是追逐函数,找错函数的值域。
11.已知双曲线-=1(a>b>0)与两条平行直线l1:y=x+a与l2:y=x-a分别相交于点A、B与C、D,所得的平行四边形的面积为6b2,则双曲线的离心率为( )
正确答案
解析
如图所示,由,得点D,C(a,0),于是由SABCD=2S△ACD=2··2a·=,所以由=6b2,得a2=3b2,即=,所以e==,故选B.
考查方向
解题思路
联立方程组求出D点。利用平行四边形求出C点,找出abc之间的关系继而求的离心率e。
易错点
计算难度太大失误。
13.若函数为奇函数,则
________.
正确答案
-1
解析
因为函数为奇函数,
,从而
考查方向
解题思路
由为奇函数,利用特殊值法求出结果。
易错点
利用代入求解,因为计算量大而容易出错。
15. 已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中的曲线是一段半圆弧,则这个几何体的表面积是__ _.
正确答案
12+π
解析
由三视图可知,这个几何体的直观图如图所示.
其左边矩形的面积为4,前、后两矩形的面积都为2,
右边曲面的面积为2π,上、下底面的面积都为2-.
所以这个几何体的表面积S=4+2×2+2π+×2=12+π.
考查方向
解题思路
先确定三视图的直观图,确定各面的表面积。
易错点
直观图画错,圆柱形的表面积没有减去底面积。
16.如图,在三棱锥中,
,
,平面
平面
,
为
中点,点
分别为线段
上的动点(不含端点),且
,则三棱锥
体积的最大值为________.
正确答案
解析
设 ,因为
为
中点,
,
,
,
为三棱锥
的高,
,
,
。
当且仅当时取等号。
考查方向
解题思路
利用等腰三角形性质可得,再利用面面垂直的性质得
,利用三角形的面积计算公式,再利用体积公式及基本不等式性质得结果。
易错点
证明
14.已过直线y=x+1上一点P作圆(x-3)2+y2=1的切线,则切线长的最小值是___ .
正确答案
解析
设圆心为C,切点为A,则圆心C(3,0)到直线x-y+1=0的距离d=2.
所以|PA|=≥=.
考查方向
解题思路
确定圆心与直线的距离,根据图像解题。
易错点
无法分析图形,读不懂题意。
已知数列{an}满足:a1=2,an+an-1=4n-2(n≥2).
17.求数列{an}的通项公式;
18.设bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
正确答案
an=2n(n∈N*).
解析
由an+an-1=4n-2(n≥2),化为:(an-2n)+(an-1-2n+2)=0,所以(an-2n)=-(an-1-2n+2),
又因为a1-2×1=0,
所以an-2n=0 ,即an=2n(n∈N*).5分
正确答案
∴Sn=3-
解析
由上题知,bn=(n∈N*)
Sn=+++…+ ①
Sn=+++…+ ②
由①-②得
Sn=+2-,
∴Sn=+2·-=+1--=-,
∴Sn=3-.12分
考查方向
解题思路
利用递推公式找出是最难的。最后利用错位相减法求出Sn
易错点
理不清的关系。
如图,四棱锥的底面
为矩形,
,
,点
在底面上的射影在
上,
,
分别是
的中点.
21.证明:平面
;
22.在边上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
正确答案
解析
在矩形中,
,且
是
的中点,
∴∠
=
∠
,
∴∠=∠
,
∵∠∠
,∴∠
∠
,即
⊥
.
由题可知面面
,且交线为
,∴
面
.
考查方向
解题思路
由边角关系得⊥
,再由线面垂直的性质得
平面
;
易错点
辅助线的作法。
正确答案
解析
作的中点
,
的中点
,连结
、
.
∵∥
,且
∴四边形
为平行四边形,∴
∥
∵是
的中点,
是
的中点,∴
∥
,∴
∥
.
作作
∥
交
于
,连结
,
∵∥
,
∥
,∴平面
∥平面
,∴
∥平面
.
由∥
可知:∴
考查方向
解题思路
由平面
作
交
于
,连接
,可证得平面
∥平面
,由面面平行的性质可得。
易错点
辅助线的作法。
今年国庆节长假期间,某旅游景点的门票面值为50元.为了吸引更多的游客,管理部门决定在景区内举行如下中奖活动:每位游客凭门票按规则同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子一次,点数之和为12中一等奖,获奖金150元;点数之和为11或10中二等奖,获奖金60元;点数之和为9或8中三等奖,获奖金30元;点数之和小于8不中奖.
19.求某三位游客中1人获一等奖,另2人获三等奖的概率;
20.预计国庆节长假期间共有2万人来该旅游景点观光旅游,假设每位游客都参与中奖活动,求该旅游景点在此期间总收益的期望值.
正确答案
解析
记抛掷两枚正方体骰子所得的点数为(x,y),则
中一等奖只有(6,6)一种可能,其概率为=.2分
中三等奖有(6,3),(3,6),(5,4),(4,5),(6,2),(2,6),(5,3),(3,5),(4,4)9种可能,其概率为=.4分
设“某三位游客中1人获一等奖,另2人获三等奖”为事件A,则
PA.=C31××=.6分
考查方向
解题思路
列出每种可能性即可
易错点
概率计算错误,漏了解题方法。
正确答案
60万元
解析
设每位游客的中奖金额为ξ元,则ξ的可能取值为150,60,30,0.
由(Ⅰ)知,P(ξ=150)=,P(ξ=30)=.
因为中二等奖有(6,5),(5,6),(6,4),(4,6),(5,5)5种可能,
所以P(ξ=60)=.
从而P(ξ=0)=1---==.8分
所以Eξ=150×+60×+30×+0×=20.10分
所以每位游客中奖金额的期望值为20元,旅游景点对每位游客收益的期望值为50-20=30元.故该旅游景点在此期间总收益的期望值为60万元.12分
考查方向
解题思路
列出每种可能性即可
易错点
概率计算错误,漏了解题方法。
已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P,离心率为.
23.求椭圆C的标准方程;
24.设F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M,N,记△F1MN的内切圆的面积为S,求当S取最大值时直线l的方程,并求出最大值.
正确答案
+=1
解析
由题意得+=1,=,a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=1,
椭圆C的标准方程为+=1.(5分)
考查方向
解题思路
联立方程组用韦达定理解题。
易错点
韦达定理表示错误。判别式遗漏。
正确答案
Smax=π=.
解析
设M(x1,y1),N(x2,y2),△F2MN的内切圆半径为r,则
S△F1MN=(++)r=4r,
所以要使S取最大值,只需S△F1MN最大.
又S△F1MN=|F1F2||y1-y2|=|y1-y2|,设直线l的方程为x=ty+1,
将x=ty+1代入+=1可得(3t2+4)y2+6ty-9=0(*),
因为Δ>0恒成立,所以方程(*)恒有解,
故y1+y2=,y1y2=.
S△F1MN=|y1-y2|==.
记m=(m≥1),
S△F1MN==在[1,+∞)上递减,
所以当m=1即t=0时,(S△F1MN)max=3,此时直线l的方程为:x=1,Smax=π=.12分
考查方向
解题思路
联立方程组用韦达定理解题。
易错点
韦达定理表示错误。判别式遗漏。
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的非负半轴重合.若曲线C的极坐标方程为ρ=6cos θ+2sin θ,直线l的参数方程为(t为参数).
29.求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程;
30.设点Q(1,2),直线l与曲线C交于A,B两点,求|QA|·|QB|的值.
正确答案
x+y-3=0
解析
由ρ=6cos θ+2sin θ,得ρ2=6ρcos θ+2ρsin θ,所以x2+y2=6x+2y,即曲线C的直角坐标方程为x2+y2-6x-2y=0.由,消去参数t,得直线l的普通方程为x+y-3=0 5分
正确答案
5
解析
由上题知直线l的参数方程可化为(t′为参数),7分
代入曲线C的直角坐标方程x2+y2-6x-2y=0得t′2+3t′-5=0,9分
由韦达定理,得t′1t′2=-5,则|QA|·|QB|=|t′1t′2|=5,10分
设函数.
25.若函数在
上为减函数,求实数
的最小值;
26.若存在,使
成立,求实数
的取值范围.
正确答案
;
解析
函数定义域为:,对函数
求导:
,
若函数在
上为减函数,则
在
恒成立
所以: ………2分
由,故当
,即
时,
所以: ,所以
的最小值是
………………5分
考查方向
解题思路
由函数在
上为减函数,得
在
恒成立,所以
,从而得解。
正确答案
。
解析
若存在,使
成立,则问题等价为:
当时,
由上题知:在
的最大值为
,所以
所以问题转化为:………………7分
(ⅰ)当时,由(1)知:
在
是减函数,
所以的最小值是
,解得:
(ⅱ)当时,
在
的值域是
①当,即
时,
在
是增函数,于是:
,矛盾
②当,即
时,由
的单调性和值域知:存在唯一的
,使得
且当时,
,
为减函数;当
时,
,
为增函数
所以:的最小值为
,
即:,矛盾
综上有:
考查方向
解题思路
存在,使
成立,问题等价为:当
时,
,从而分类讨论得出。
易错点
存在,使
成立,问题等价为:当
时,
,对一般学生来说很难转化出来。
过⊙O外一点P作⊙O的两条割线PAB,PMN,其中PMN过圆心O,过P再作⊙O的切线PT,切点为T.已知PM=MO=ON=1.
27.求切线PT的长;
28.求的值.
正确答案
PT=
解析
由切割线定理可知PT2=PM·PN=1×3=3,
所以PT=.4分
正确答案
1/3
解析
∵∠ABM=∠ANM,∠BPM=∠NPA,
∴△PAN∽△PMB,∴=, ①6分
∵∠PAM=∠PNB,∠PMA=∠PBN,
∴△PAM∽△PNB,∴=, ②8分
由①②,可知===.10分
已知函数f(x)=|x-a|+4x,a>0.
31.当a=2时,求不等式f(x)≥2x+1的解集;
32.若x∈(-2,+∞)时,恒有f(2x)≥7x+a2-3,求实数a的取值范围.
正确答案
{x|x≥-1}
解析
f(x)≥2x+1,即|x-2|≥-2x+1,即,或,
解得{x|x≥-1}.(5分)[:]
正确答案
a∈(0,2]
解析
:]f(2x)≥7x+a2-3可化为f(2x)-7x≥a2-3,令F(x)=f(2x)-7x,
因为F(x)=f(2x)-7x=|2x-a|+x=,由于a>0,x∈(-2,+∞),
所以当x=时,F(x)有最小值F=,若使原命题成立,只需≥a2-3,解得a∈(0,2].10分