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理科数学 常州市2016年高三期末试卷
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、填空题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2、简答题
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
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填空题 本大题共14小题，每小题5分，共70分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

6.已知等差数列的公差为，若成等比数列，那么等于      ___________；

正确答案

2

解析

设，+2，+6 由成等比数列，得：（+2）2=（+6）, =2

考查方向

本题主要考查了等差数列及等比数列的性质。

解题思路

本题考查运用等差数列及等比数列性质求首项，解题步骤如下：设，+2，+6 由成等比数列，得：（+2）2=（+6）, =2

易错点

本题必须注意审题，忽视则会出现错误。

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用
1
题型：填空题
|
分值: 5分

10．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为___________

正确答案

解析

将代入渐近线方程，得a=2b. c=,c2=a2+b2, a2+.

考查方向

本题主要考查了双曲线的方程及双曲线与抛物线的基本知识。

解题思路

本题考查运用双曲线的渐近线方程及抛物线的准线方程，求a,b，解题步骤如下：将代入渐近线方程，得a=2b. 由双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，可知c=,c2=a2+b2, a2+.

易错点

本题必须注意审题，忽视则会出现错误。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质
1
题型：填空题
|
分值: 5分

7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为___________

正确答案

解析

考查方向

本题主要考查了互斥事件及乘法原理的知识。

解题思路

本题考查运用乘法原理求这2只球中没有黄球的概率，再利用互斥事件的性质求解。解题步骤如下：

易错点

本题必须注意审题，忽视则会出现错误。

知识点

古典概型的概率
1
题型：填空题
|
分值: 5分

8．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是___________

正确答案

解析

2πr=πl, 2π=πrl.得：r=,l=2,h=1.V=π

考查方向

本题主要考查了圆锥侧面积及体积的运算公式。

解题思路

本题考查运用圆锥侧面积求底面半径及母线，再求高，进而求体积。解题步骤如下：2πr=πl, 2π=πrl.得：r=,l=2,h=1.V=π

易错点

本题必须注意审题，忽视则会出现错误。

知识点

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
1
题型：填空题
|
分值: 5分

9．已知，则=___________

正确答案

解析

-(cos2x-sin2x)=-2cos(2x+π)=2cos［π-(2x+π)］=2cos(-2x)=2cos(2x-),=

考查方向

本题主要考查了辅助角公式。

解题思路

本题考查运用辅助角公式求辅助角，解题步骤如下：

先用辅助角公式得-2cos(2x+π)，再用诱导公式得 2cos(-2x)=2cos(2x-),=

易错点

本题必须注意，忽视则会出现错误。

知识点

三角函数中的恒等变换应用
1
题型：填空题
|
分值: 5分

5．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为___________；

正确答案

4

解析

i=1，a=2,i=2,a=5,i=3,a=16,i=4,a=65,输出i=4

考查方向

本题主要考查了程序框图的知识。

解题思路

本题考查运用程序框图循环语句求解

易错点

本题必须注意所求的是i，忽视则会出现错误。

知识点

程序框图
1
题型：填空题
|
分值: 5分

1．函数y＝ 的定义域是______________________；

正确答案

（－1，＋∞）

解析

x+1>0，x>-1, （－1，＋∞）

考查方向

本题主要考查了求定义域的方法,定义域的区间表示，不等式求解的能力。

解题思路

本题考查采用正确的方法求定义域的方法和不等式求解的能力，解题步骤如下：

分式有意义与二次根式有意义要求x+1>0,从而求出结果

易错点

本题必须注意分式有意义和二次根式有意义双重约束条件和定义域的区间表示，忽视则会出现错误。

知识点

函数的定义域及其求法
1
题型：填空题
|
分值: 5分

3．“”是“直线和直线平行”的___________条件；（选“充分不必要” “必要不充分”  “充要” “既不充分也不必要”填空）

正确答案

充分不必要

解析

a(a-1)-6=0,a=3或a=-2,经检验，均符合。a=3→a=3或a=-2,充分不必要条件。

考查方向

本题主要考查了平面解析几何中直线平行的条件A1B2-A2B1=0，A1C2-A2C1≠0和充要条件的定义。

解题思路

本题先考查采用正确的方法求直线平行的条件，又考查命题的充要条件，解题步骤如下：

a(a-1)-6=0,a=3或a=-2,经检验，均符合。a=3→a=3或a=-2,充分不必要条件。

易错点

本题必须注意哪个是题设，哪个是结论，忽视则会出现错误。

知识点

充要条件的判定两条直线平行的判定
1
题型：填空题
|
分值: 5分

2．设是虚数单位，若复数满足，则复数的模=___________；

正确答案

1

解析

z=(1-i)/(1+i)=-i，=1

考查方向

本题主要考查了复数的运算能力及复数模的含义。

解题思路

本题先考查采用正确的方法求复数，又考查复数的模的求法，解题步骤如下：

z=(1-i)/(1+i)=-i，=1

易错点

本题必须注意求的是复数的模，而不是复数本身，忽视则会出现错误。

知识点

复数代数形式的乘除运算复数求模
1
题型：填空题
|
分值: 5分

4.若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为___________；

正确答案

16

解析

2*8=16

考查方向

本题主要考查了标准差与数据的关系。

解题思路

本题考查采用标准差与数据关系的结论：只与系数相关。解题步骤如下：2*8=16

易错点

本题必须注意标准差含义，忽视则会出现错误。

知识点

极差、方差与标准差
1
题型：填空题
|
分值: 5分

11．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，若，则的值为___________

正确答案

2

解析

由得：

考查方向

本题主要考查了平面向量的应用。

解题思路

本题考查运用平面向量在几何中的应用，解题步骤如下：建立如图所示直角坐标系，

则，由得：

易错点

本题必须注意审题，忽视则会出现错误。

知识点

三角形中的几何计算平面向量数量积的运算向量在几何中的应用
1
题型：填空题
|
分值: 5分

12．如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为___________

正确答案

18

解析

时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.

考查方向

本题主要考查了函数与不等式的综合应用.。

解题思路

本题考查运用函数的单调性解决不等式问题，解题步骤如下：分三种情况讨论。

详解见解析。

易错点

本题必须注意分类讨论，忽视则会出现错误。

知识点

函数单调性的性质
1
题型：填空题
|
分值: 5分

14．已知圆O：，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，求弦长AC长的取值范围___________

正确答案

解析

设AC中点P（x,y）OP⊥AP，

AC=2PM,PM∈［,］AC∈

考查方向

本题主要考查了曲线的方程与几何图形的综合知识。

解题思路

本题考查运用曲线的方程与几何图形知识解决问题的能力，先设AC中点P（x,y）OP⊥AP，AP=

AC=2PM,PM∈［,］AC∈

易错点

本题必须运用几何性质找曲线的方程，否则无从下手。

知识点

直线与圆相交的性质
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13．已知函数,则方程恰有两个不同的实根时，实数a的

取值范围是___________

正确答案

解析

∵，∴，设切点为，∴切线方程为，

∴，与相同，∴，，∴，∴.

当直线与平行时，直线为，

当时，，

当时，，

当时，，所以与在，上有2个交点，所以直线在和之间时与函数有2个交点，所以，

考查方向

本题主要考查了函数与方程的知识，运用导数解决函数问题的能力，以及数形结合思想的应用。

解题思路

本题考查运用导数解决函数的能力，解题步骤如下： 先求导，找函数的切线方程，再利用零点的判定方法，找到a的取值范围。

易错点

本题必须注意审题，忽视则会出现错误。

知识点

函数的图象与图象变化函数零点的判断和求解
简答题（综合题） 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 14分

16．在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．

（1）求证：AC⊥PB；

（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。

正确答案

见解析

解析

（1）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，

又∠CBA＝30°，BC＝2，AB＝4，

∴AC＝

＝，

∴AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，

故AC⊥BC．又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，

故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．

（2） BM=2

考查方向

本题考查了立体几何中垂直关系的证明

解题思路

（1）由余弦定理求AC

（2）由勾股逆定理得∠ACB＝90°

（3）AC⊥BC，PC⊥AC，AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB

易错点

证明过程不到位。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质
1
题型：简答题
|
分值: 14分

17. 某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为 ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．

（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；

（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．

正确答案

见解析

解析

解：（1）

（2）根据题意，

所以恒成立

即    恒成立

考查方向

本题考查了函数不等式的应用及换元思想的构建．

解题思路

本题考查函数不等式的应用．解题步骤如下：

（1）求出函数表达式。

（2）根据函数值域，列出不等式。

（3）用换元法求出的取值范围

易错点

不等式恒成立分析不够

知识点

根据实际问题选择函数类型
1
题型：简答题
|
分值: 14分

15． 在中，，

（1）求的值；

（2）若点D在边上，，求的长。

正确答案

见解析

解析

解：如图， 设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得    ， 所以.

又由正弦定理得.

由题设知，所以.

在中，由正弦定理得.

考查方向

本题考查了利用正余弦定理，求三角函数值及边长

解题思路

（1）用余弦定理求a

（2）由正弦定理求sinB

（3）在，由正弦定理求AD

易错点

忽略数形结合思想在本题中的作用。

知识点

同角三角函数间的基本关系正弦定理解三角形的实际应用
1
题型：简答题
|
分值: 16分

20．已知为实常数，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点；

①求实数的取值范围；

②求证：.

正确答案

见解析

解析

（1）的定义域为．其导数．

①当时，，函数在上是增函数；

②当时，在区间上，；在区间上，．

所以在是增函数，在是减函数.

（2）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点;

当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，

所以，解得，

此时，，且，

令，则，

所以在上单调递增，所以，即

所以的取值范围是

②证法一：

下面证明：当时， .

设 ，则 .

在 上是增函数，所以当时， .

即当时，..

      

  

   .

②证法二：

令

则：，

所以函数在区间上为减函数.

,则,又

于是.

又由(1)可知 .即

考查方向

本题主要考查了导数的应用——利用导数求函数单调性，根据函数的零点求参数的取值范围。

解题思路

1利用导数求函数单调性，2根据函数的零点求参数的取值范围

3构造函数求两个零点和的范围

易错点

本题必须注意函数的定义域，以及对参数进行讨论，否则求解错误。

知识点

函数单调性的判断与证明函数零点的判断和求解
1
题型：简答题
|
分值: 10分

23．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名。从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；

（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

正确答案

见解析

解析

(1)由已知，有

所以事件发生的概率为.

（2）随机变量的所有可能取值为

所以随机变量的分布列为

所以随机变量的数学期望

考查方向

本题主要考查了由排列组合的知识求概率，以及随机变量X的分布列和数学期望。

解题思路

1利用已知条件把“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会的组合数求出，进而求出概率

易错点

本题必须注意审题，否则求解错误。

知识点

古典概型的概率离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1
题型：简答题
|
分值: 16分

18. 平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；

①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值。

②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．

正确答案

见解析

解析

（1）由题意知 ，则 ,又 可得 ,

所以椭圆C的标准方程为.

（2）①M  N

②点（），点Q，

∵，，

∴==．

∵点P在椭圆C上，    ∴，

∴==．

∵，

∴．

∴的取值范围是．

考查方向

本题考查了椭圆方程的求法，离心率，圆方程等知识的运用，定值的求法，斜率的表示方法等。

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

（1）根据离心率和几何特点，求出椭圆方程

（2）表示M，N进而得

（3）表示,进而得的取值范围．

易错点

点M，N表示不当

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题
1
题型：简答题
|
分值: 16分

19. 设数列的前项和，，，且当时，．

（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．

正确答案

见解析

解析

解：（1）当时, ,,

代入并化简得,

而恒为正值,∴

∴数列是等比数列.

∴.当时,,

又，∴

（2）当时，,此时 ，又

∴.

故，

当时，

，

若，

则等式为，不是整数，不符合题意；

若，则等式为，

∵是整数,   ∴必是的因数,  ∵时

∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.

综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，

当时，不存在正整数使等式成立.

考查方向

本题考查了等比数列的证明及数列的通项公式求法

解题思路

利用，得数列是等比数列.

易错点

忽略n的范围的讨论。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明数列与函数的综合数列与不等式的综合
1
题型：简答题
|
分值: 10分

22．（2） [选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．

（1）求与交点的直角坐标；

（2）若与相交于点，与相交于点，求的最大值．

正确答案

见解析

解析

（1）

（2）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．

所以，

当时，取得最大值，最大值为．

考查方向

本题主要考查了坐标系与参数方程基本知识。

解题思路

（1）利用已知条件把与化成直角坐标方程，进而求交点。

（2）把化成极坐标方程，进而求解。

易错点

本题必须注意把与化成直角坐标方程。

知识点

简单曲线的极坐标方程参数方程化成普通方程圆的参数方程
1
题型：简答题
|
分值: 10分

24．若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点M（2，2）．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为，

当变化且满足时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．

正确答案

见解析

解析

（1）

（2）

定点（6，－4）

考查方向

本题主要考查了抛物线与直线方程的综合能力运用。

解题思路

1利用已知条件把求出抛物线方程2.设出直线方程证明其过定点。

易错点

本题必须注意审题，否则求解错误。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线的定点、定值问题
1
题型：简答题
|
分值: 10分

21．（1） [选修4－2：矩阵与变换]

已知，矩阵有一个属于特征值的特征向量，

（1）求矩阵；

（2）若矩阵，求

正确答案

见解析

解析

解：（1）

（2）

考查方向

本题主要考查了矩阵基本知识。

解题思路

1利用已知条件求矩阵A，2由矩阵A，求矩阵A-1，3由矩阵A-1，矩阵，求

易错点

本题必须注意审题，否则求解错误。

知识点

反证法的应用

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