理科数学 2017年高三第三次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.下列说法中不正确的个数是(  )

①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件

②命题“∀x∈R,cosx≤1”的否定是“∃x0∈R,cosx0≥1”

③若一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真.

A3

B2

C1

D0

正确答案

B

解析

解:对于①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件,不是必要不充分条件,所以①不正确;

对于②命题“∀x∈R,cosx≤1”的否定是“∃x0∈R,cosx0≥1”,不满足命题的否定形式,所以②不正确;

对于③若一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真.满足四种命题的逆否关系,正确;

故选:B.

考查方向

本题考查命题的真假判断与应用.

解题思路

利用充要条件判断①的正误;命题的否定判断②的正误;四种命题的逆否关系判断③的正误;

易错点

①易判断错误.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.已知f(x)=2sin(2x+),若将它的图象向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的一条对称轴的方程为(  )

Ax=

Bx=

Cx=

Dx=

正确答案

C

解析

解:f(x)=2sin(2x+),若将它的图象向右平移个单位,

得到函数g(x)=2sin[2(x﹣)+)]=2sin(2x﹣)的图象,

令2x﹣=kπ+,k∈z,求得x=+,故函数的图象的一条对称轴的方程为x=

故选:C.

考查方向

本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

解题思路

由条件根据y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,可得结论.

易错点

平移时未提取系数2而致错.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解:由三视图可知几何体为直三棱柱切去一个三棱锥得到的四棱锥,直观图如图所示:

其中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形,AB=BC=2,AB⊥BC,

直三棱柱的高AA1=2,

∴四棱锥B﹣ACC1A1的体积V=V﹣V==

故选A.

考查方向

本题考查由三视图求面积、体积.

解题思路

几何体为不规则放置的四棱锥,做出棱锥的直观图,利用作差法求出棱锥的体积即可.

易错点

不能作出直观图.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设复数z满足z(1+i)=2,i为虚数单位,则复数z的虚部是(  )

A1

B﹣1

Ci

D﹣i

正确答案

B

解析

解:由z(1+i)=2,得

∴复数z的虚部是﹣1.

故选:B.

考查方向

本题考查复数代数形式的乘除运算.

解题思路

把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

易错点

把﹣i作为虚部.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.已知U=R,函数y=ln(1﹣x)的定义域为M,N={x|x2﹣x<0},则下列结论正确的是(  )

AM∩N=M

BM∪(∁UN)=U

CM∩(∁UN)=∅

DM⊆∁UN

正确答案

B

解析

解:全集U=R,函数y=ln(1﹣x)的定义域为M={x|1﹣x>0}={x|x<1},

N={x|x2﹣x<0}={x|0<x<1},

∴M∩N={x|0<x<1}≠M,A正确;

UN={x|x≤0或x≥1},M∪(∁UN)=R=U,B正确;

M∩(∁UN)={x|x≤0}≠∅,C错误;

M⊆∁UN不成立,D错误.

故选:B.

考查方向

本题考查交、并、补集的混合运算.

解题思路

根据题意求出集合M,化简集合N,再判断选项是否正确.

易错点

有些考生易把交集,并集弄混.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.已知x,y满足约束条件,则z=x﹣y的最小值为(  )

A1

B﹣1

C3

D﹣3

正确答案

A

解析

解:作作出不等式组对应的平面区域如图:由z=x﹣y,得y=x﹣z表示,斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线,

平移直线y=x﹣z,当直线y=x﹣z经过点B时,直线y=x﹣z的截距最大,此时z最小,

,解得,即B(2,1),此时zmin=2﹣1=1.

故选:A

考查方向

本题考查简单线性规划.

解题思路

作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义进行求解即可.

易错点

不能找出最优解.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是(  )

Af(x)=2x

Bf(x)=xsinx

C

Df(x)=﹣x|x

正确答案

D

解析

解:A中f(x)非奇非偶;

B中f(x)是偶函数;

C中f(x)在(﹣∞,0)、(0,+∞)分别是减函数,

但在定义域(﹣∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数;

D中f(x)=是奇函数且在R上是减函数.

故选:D.

考查方向

本题考查函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.

解题思路

根据函数奇偶性和单调性的性质和定义进行判断即可.

易错点

利用定义判断奇偶函数的前提是函数定义域关于原点对称.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.(2014•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[﹣2,2],则输出的S属于(  )

A[﹣6,﹣2]

B[﹣5,﹣1]

C[﹣4,5]

D[﹣3,6]

正确答案

D

解析

解:若0≤t≤2,则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3,﹣1],

若﹣2≤t<0,则满足条件,此时t=2t2+1∈(1,9],此时不满足条件,

输出S=t﹣3∈(﹣2,6],

综上:S=t﹣3∈[﹣3,6],

故选:D

考查方向

本题考查程序框图.

解题思路

根据程序框图,结合条件,利用函数的性质即可得到结论.

易错点

不能找出正确规律而致错.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.若(x6n的展开式中含有常数项,则n的最小值等于(  )

A3

B4

C5

D6

正确答案

C

解析

解:由题意,(x6n的展开式的项为Tr+1=Cnr(x6n﹣rr=Cnr=Cnr

令6n﹣r=0,得n=r,当r=4时,n取到最小值5

故选:C.

考查方向

本题考查二项式系数的性质.

解题思路

二项式的通项公式Tr+1=Cnr(x6n﹣rr,对其进行整理,令x的指数为0,建立方程求出n的最小值.

易错点

解题的关键是熟练掌握二项式的项,且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0,得到n的表达式,推测出它的值.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.已知,||=,||=t,若P点是△ABC所在平面内一点,

=+,当t变化时,的最大值等于(  )

A﹣2

B0

C2

D4

正确答案

B

解析

解:以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,

,||=,||=t,∴B(,0),C(0,t),

∵P点是△ABC所在平面内一点,且=+

=(1,0)+(0,1)=(1,1),即P(1,1),

=(,﹣1),=(﹣1,t﹣1),

=﹣+1﹣t+1=2﹣(),

=2,

的最大值等于0,

当且仅当t=,即t=1时,取等号.

故选:B.

考查方向

本题考查平面向量的基本定理及其意义.

解题思路

以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,推导出B(,0),C(0,t),

P(1,1),从而=(,﹣1),=(﹣1,t﹣1),由此能求出的最大值.

易错点

本题的关键是建立坐标系.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p (p≠0),发球次数为X,若X的数学期望EX>1.75,则p的取值范围是(  )

A(0,

B,1)

C(0,

D,1)

正确答案

C

解析

解:根据题意,学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p,即

P(X=1)=p,

发球次数为2即二次发球成功的概率P(X=2)=p(1﹣p),

发球次数为3的概率P(X=3)=(1﹣p)2

则Ex=p+2p(1﹣p)+3(1﹣p)2=p2﹣3p+3,

依题意有EX>1.75,则p2﹣3p+3>1.75,

解可得,p>或p<

结合p的实际意义,可得0<p<,即p∈(0,

故选C.

考查方向

本题考查相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量的期望与方差.

解题思路

根据题意,首先求出X=1、2、3时的概率,进而可得EX的表达式,由题意EX>1.75,可得p2﹣3p+3>1.75,解可得p的范围,结合p的实际意义,对求得的范围可得答案.

易错点

本题考查期望的计算,注意解题的最后要结合概率的意义对求出的答案范围进行取舍.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.已知函数f(x)=x3﹣6x2+9x,g(x)=x3x2+ax﹣(a>1)若对任意的

x1∈[0,4],总存在x2∈[0,4],使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为(  )

A(1,]      

B[9,+∞)     

C

D

正确答案

C

解析

解:函数f(x)=x3﹣6x2+9x,导数为f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3),

可得f(x)的极值点为1,3,

由f(0)=0,f(1)=4,f(3)=0,f(4)=4,

可得f(x)在[0,4]的值域为[0,4];

g(x)=x3x2+ax﹣(a>1),

导数为g′(x)=x2﹣(a+1)x+a=(x﹣1)(x﹣a),

当1<x<a时,g′(x)<0,g(x)递减;

当x<1或x>a时,g′(x)>0,g(x)递增.

由g(0)=﹣,g(1)=(a﹣1),g(a)=a3a2>﹣,g(4)=13﹣4a,

当3≤a≤4时,13﹣4a≤(a﹣1),

g(x)在[0,4]的值域为[﹣(a﹣1)],

由对任意的x1∈[0,4],总存在x2∈[0,4],使得f(x1)=g(x2),

可得[0,4]⊆[﹣(a﹣1)],

即有4≤(a﹣1),解得a≥9不成立;

当1<a<3时,13﹣4a>(a﹣1),

g(x)在[0,4]的值域为[﹣,13﹣4a],

由题意可得[0,4]⊆[﹣,13﹣4a],

即有4≤13﹣4a,解得a≤,即为1<a≤

当a>4时,可得g(1)取得最大值,g(4)<﹣3为最小值,

即有[0,4]⊆[13﹣4a,(a﹣1)],

可得13﹣4a≤0,4≤(a﹣1),即a≥,且a≥9,

解得a≥9.

综上可得,a的取值范围是(1,]∪[9,+∞).

故选:C.

考查方向

本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用.

解题思路

求出f(x)的导数,可得极值点,分别求出f(0),f(1),f(3),f(4),可得值域;再求g(x)的导数,可得极值点,求出g(0),g(1),g(a),g(4),讨论a的范围,分a>4,1<a<3,3≤a≤4,比较可得值域,再由题意可得f(x)的值域包含于g(x)的值域,得到不等式,解不等式即可得到所求范围.

易错点

本题考查任意性和存在性问题的解法,注意运用转化思想,转化为值域的包含关系.

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.若等比数列{an}的前n项和为Sn,则公比q=  

正确答案

1或

解析

解:∵

∴a1+a2+a3=则a1+a2=3

化简得2q2﹣q﹣1=0

解得q=1或

故答案为:1或

考查方向

本题考查等比数列的前n项和.

解题思路

根据等比数列的前n项和建立等式,利用a3和q表示出a1与a2,然后解关于q的一元二次方程,即可求出所求.

易错点

不会将首项和第二项转化为q的关系式而无从下手.

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.已知tanα,tanβ分别是lg(6x2﹣5x+2)=0的两个实根,则tan(α+β)=  

正确答案

1

解析

解:由题意lg(6x2﹣5x+2)=0,

可得6x2﹣5x+1=0,tanα,tanβ分别是lg(6x2﹣5x+2)=0的两个实根,

∴tanα+tanβ=,tanα•tanβ=

∴tan(α+β)===1.

故答案为:1.

考查方向

本题考查两角和与差的正切函数.

解题思路

由条件利用一元二次方程根与系数的关系可得tanα+tanβ和tanα•tanβ的值,从而求得 tan(α+β)的值.

易错点

根与系数关系及两角和的正确公式的熟记.

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人 来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为  

正确答案

解析

解:∵红灯持续时间为40秒,至少需要等待15秒才出现绿灯,

∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯,

∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=

故答案为

考查方向

本题考查几何概型.

解题思路

求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯,即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率.

易错点

不能理解至少需要等待15秒才出现绿灯的含义.

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.若偶函数y=f(x),x∈R,满足f(x+2)=﹣f(x),且当x∈[0,2]时,

f(x)=2﹣x2,则方程f(x)=sin|x|在[﹣10,10]内的根的个数为  

正确答案

10

解析

解:∵函数y=f(x)为偶函数,且满足f(x+2)=﹣f(x),

∴f(x+4)=f(x+2+2)=﹣f(x+2)=f(x),

∴偶函数y=f(x)为周期为4的函数,

由x∈[0,2]时f(x)=3﹣x2可作出函数f(x)在[﹣10,10]的图象,

同时作出函数y=sin|x|在[﹣10,10]的图象,交点个数即为所求.

数形结合可得交点个为10,

故答案为:10.

考查方向

本题考查根的存在性及根的个数判断.

解题思路

由题意可得偶函数y=f(x)为周期为4的函数,f(x)=sin|x|是偶函数,作出函数的图象,的交点的个数即为所求.

易错点

将方程转化为两个函数,作出函数图象是本题的关键.

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

在四棱锥P﹣ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=60°,PB=PD=2,AC∩BD=O.

24.     (Ⅰ)证明:PC⊥BD

25.     (Ⅱ)若E是PA的中点,且△ABC与平面PAC所成的角的正切值为,求二面角A﹣EC﹣B的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

】证明:(Ⅰ)因为底面是菱形,所以BD⊥AC.(1分)

又PB=PD,且O是BD中点,所以BD⊥PO.(2分)

PO∩AC=O,所以BD⊥面PAC.(3分)

又PC⊂面PAC,所以BD⊥PC.(4分)

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)

解析

证明:

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,OE是BE在面PAC上的射影,

所以∠OEB是BE与面PAC所成的角.

在Rt△BOE中,,BO=1,所以

在Rt△PEO中,,所以

所以,又

所以PO2+AO2=PA2,所以PO⊥AO.(6分)

又PO⊥BD,BD∩AO=O,所以PO⊥面ABCD.(7分)

方法一:

过O做OH⊥EC于H,由(Ⅰ)知BD⊥面PAC,所以BD⊥EC,所以EC⊥面BOH,BH⊥EC,

所以∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角.(9分)

在△PAC中,,所以PA2+PC2=AC2,即AP⊥PC.

所以.(10分)

,得,(11分)

,所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为.(12分)

方法二:

如图,以建立空间直角坐标系,

,B(0,1,0),.(9分)

设面BEC的法向量为,则

,得方程的一组解为

.(10分)

又面AEC的一个法向量为,(11分)

所以,所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为.(12分)

考查方向

本题考查二面角的平面角的求法,直线与平面垂直的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力.

解题思路

(Ⅰ)证明BD⊥AC,BD⊥PO,推出BD⊥面PAC,然后证明BD⊥PC.

(Ⅱ)说明OE是BE在面PAC上的射影,∠OEB是BE与面PAC所成的角.利用Rt△BOE,在Rt△PEO中,证明PO⊥AO.推出PO⊥面ABCD.

方法一:说明∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角.通过求解三角形求解二面角A﹣EC﹣B的余弦值.

方法二:以建立空间直角坐标系,求出平面BEC的法向量,平面AEC的一个法向量,利用空间向量的数量积求解即可.

易错点

建立合适的空间直角坐标系.

1
题型:简答题
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分值: 12分

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

已知a(sinA﹣sinB)=(c﹣b)(sinC+sinB)

17.     (Ⅰ)求角C;

18.     (Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)

解析

解:(Ⅰ)由已知a(sinA﹣sinB)=(c﹣b)(sinC+sinB)

由正弦定理,得a(a﹣b)=(c﹣b)(c+b),(2分)

即a2+b2﹣c2=ab.(3分)

所以cosC==

又C∈(0,π),所以C=.(6分)

解题思路

(Ⅰ)由已知a(sinA﹣sinB)=(c﹣b)(sinC+sinB)利用正弦定理,得a(a﹣b)=(c﹣b)(c+b),即a2+b2﹣c2=ab.再利用余弦定理即可得出.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)5+

解析

解:

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a2+b2﹣c2=ab.所以(a+b)2﹣3ab=c2=7,(8分)

又S=sinC=ab=

所以ab=6,(9分)

所以(a+b)2=7+3ab=25,即a+b=5.(11分)

所以△ABC周长为a+b+c=5+.(12分)

考查方向

本题考查了正弦定理余弦定理三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力.

解题思路

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a2+b2﹣c2=ab.变形为(a+b)2﹣3ab=c2=7,又S=sinC=ab=,可得ab=6,可得a+b=5.即可得出.

易错点

公式的熟记与灵活应用是关键.

1
题型:简答题
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分值: 12分

设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=﹣1+2an

19.     (Ⅰ)求{an}的通项公式;

20.     (Ⅱ)若bn=log2an+1,且数列{bn}的前n项和为Tn,求+…+

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)

解析

解:(Ⅰ)由已知,有Sn=﹣1+2an,①

当n=1时,a1=﹣1+2a1,即a1=1.

当n≥2时,Sn﹣1=﹣1+2an﹣1,②

①﹣②得an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1,即an=2an﹣1(n≥2).

∴{an}是2为公比,1为首项的等比数列,即

解题思路

(Ⅰ)由数列递推式求出首项,进一步得当n≥2时,Sn﹣1=﹣1+2an﹣1,与原递推式联立可得an=2an﹣1(n≥2),即{an}是2为公比,1为首项的等比数列,再由等比数列的通项公式求得{an}的通项公式;

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)

解析

解:

由(Ⅰ),得

==2

考查方向

本题考查数列递推式,考查了等差关系的确定,训练了裂项相消法求数列的前n项和.

解题思路

(Ⅱ)把数列通项公式代入bn=log2an+1,求出数列{bn}的前n项和为Tn,再由裂项相消法求+…+

易错点

忽视考虑n=1是否适合的情况.

1
题型:简答题
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分值: 12分

某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间,将测量结果按如下方式分成6组:第一组[160,164],第二组[164,168],…,第6组[180,184],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

21.     (Ⅰ)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况;

22.     (Ⅱ)求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数;

23.     (Ⅲ)在这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人,该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ,求ξ的数学期望.

参考数据:若ξ﹣N(μ,σ2),则p(μ﹣σ<ξ≤μ+σ)=0.6826,p(μ﹣2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544,p(μ﹣3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9974.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72,比较接近全市的平均值168;

解析

解:(Ⅰ)由直方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为

高于全市的平均值168(或者:经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72,比较接近全市的平均值168).…(4分)

解题思路

(I)高三男生的平均身高用组中值×频率,即可得到结论;

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)10人

解析

解:(Ⅱ)由频率分布直方图知,后三组频率为(0.02+0.02+0.01)×4=0.2,人数为0.2×5=10,即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10人.…(6分)

解题思路

(II)首先理解频数分布直方图横纵轴表示的意义,横轴表示身高,纵轴表示频数,即:每组中包含个体的个数.我们可以依据频数分布直方图,了解数据的分布情况,知道每段所占的比例,从而求出求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅲ)

解析

解:

(Ⅲ)∵P(168﹣3×4<ξ≤168+3×4)=0.9974,∴,0.0013×100 000=130.

所以,全市前130名的身高在180 cm以上,这50人中180 cm以上的有2人.

随机变量ξ可取0,1,2,于是

.…(12分)

考查方向

此题主要考查了正态分布,考查随机变量的定义及其分布列,并考查了利用分布列求其期望.

解题思路

(III)先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在172cm以上,这50人中172cm以上的有2人,确定ξ的可能取值,求出其概率,即可得到ξ的分布列与期望.

易错点

正确理解频数分布直方图横纵轴表示的意义,由频数分布直方图可以得到什么结论是学习中需要掌握的关键.

1
题型:简答题
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分值: 10分

[选修4-5:不等式选讲]

已知f(x)=|x﹣a|+|x﹣1

30.     (Ⅰ)当a=2,求不等式f(x)<4的解集;

31.     (Ⅱ)若对任意的x,f(x)≥2恒成立,求a的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ){x|﹣<x<}

解析

解:(Ⅰ)当a=2时,不等式f(x)<4,即|x﹣2|+|x﹣1|<4,

可得,或

解得:﹣<x<,所以不等式的解集为{x|﹣<x<}.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞)

解析

解:

(Ⅱ)∵|x﹣a|+|x﹣1|≥|a﹣1|,当且仅当(x﹣a)(x﹣1)≤0时等号成立,

由|a﹣1|≥2,得a≤﹣1或a≥3,

即a的取值范围为(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞).

考查方向

本题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值的性质,是一道基础题.

解题思路

(Ⅰ)将a的值带入,通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;

(Ⅱ)根据绝对值的性质得到关于a的不等式,解出即可.

易错点

(Ⅱ)中三角不等式的应用,

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知函数f(x)=(x﹣1)ex+ax2有两个零点.

26.     (Ⅰ)求a的取值范围;

27.     (Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明x1+x2<0.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)(0,+∞)

解析

本小题满分12分)

(Ⅰ)f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a)(1分)

(i)当a>0时,

函数f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.                 (2分)

∵f(0)=﹣1<0,f(2)=e2+4a>0,

b满足b<﹣2且b<lna,则f(b)>a(b﹣1)+ab2=a(b2+b﹣1)>a(4﹣2﹣1)>0,

(3分)

所以f(x)有两个零点.                                           (4分)

(ii)若a=0,则f(x)=(x﹣1)ex,故f(x)只有一个零点.

(iii)若a<0,由(I)知,

,则f(x)在(0,+∞)单调递增,又当x≤0时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;

,则函数在(ln(﹣2a),+∞)单调递增;在(0,ln(﹣2a))单调递减.又当x≤1时,f(x)<0,故不存在两个零点.                       (6分)

综上所述,a的取值范围是(0,+∞).                            (7分)

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明:(Ⅱ)不妨设x1<x2

由(Ⅰ)知x1∈(﹣∞,0),x2∈(0,+∞),﹣x2∈(﹣∞,0),则x1+x2<0等价于x1<﹣x2

因为函数f(x)在(﹣∞,0)单调递减,

所以x1<﹣x2等价于f(x1)>f(﹣x2),即证明f(﹣x2)<0.(8分)

,得,(9分)

令g(x)=(﹣x﹣1)e﹣x+(1﹣x)ex,x∈(0,+∞).(10分)

g'(x)=﹣x(e﹣x+ex)<0,g(x)在(0,+∞)单调递减,又g(0)=0,

所以g(x)<0,

所以f(﹣x2)<0,即原命题成立.(12分)

考查方向

本题考查函数的极值,函数的单调性以及函数的零点个数的问题,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,考查计算能力.

解题思路

(Ⅰ)求出f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a),通过(i)当a>0时,判断函数的单调性,判断零点个数;(ii)若a=0,判断f(x)只有一个零点.(iii)若a<0,利用单调性判断零点个数即可.

(Ⅱ)不妨设x1<x2.推出x1<﹣x2.利用函数f(x)在(﹣∞,0)单调递减,证明f(﹣x2)<0.令g(x)=(﹣x﹣1)e﹣x+(1﹣x)ex,x∈(0,+∞).

利用g'(x)=﹣x(e﹣x+ex)<0,转化证明即可.

易错点

由a的不同范围考查零点个数.

1
题型:简答题
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分值: 10分

[选修4-4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是

ρsin(θ+)=2

28.     (Ⅰ)直接写出C1的普通方程和极坐标方程,直接写出C2的普通方程;

29.     (Ⅱ)点A在C1上,点B在C2上,求|AB|的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)ρ=﹣4cosθ, x+y﹣4=0

解析

解:(Ⅰ)由,得,两式平方作和得:(x+2)2+y2=4,

C1的极坐标方程为ρ=﹣4cosθ,

由ρsin(θ+)=2,得

得x+y﹣4=0.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)

解析

解:

(Ⅱ)C1是以点(﹣2,0)为圆心,半径为2的圆,C2是直线.

圆心到直线C2的距离为>2,直线和圆相离.

∴|AB|的最小值为

考查方向

简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.

解题思路

(Ⅰ)把圆C1的参数方程变形,两式平方作和可得普通方程,进一步求得极坐标方程,展开两角和的正弦,结合x=ρcosθ,y=ρsinθ可得C2的普通方程;

(Ⅱ)由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,可得直线和圆相离,由点到直线的距离减去圆的半径求得|AB|的最小值.

易错点

(Ⅱ)先判断出直线和圆相离,再由点到直线的距离减去圆的半径求得|AB|的最小值.

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